ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

Τα παρακάτω θεωρήματα, μας δινουν τις βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.
ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο
Έστω f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [\alpha,\beta] και \lambda,\mu\in\rr. Τότε ισχύουν

    \begin{align*} 	&\int_{\alpha}^{\beta} \lambda f(x)dx=\lambda\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx. \\\\ 	&\int_{\alpha}^{\beta} \big[f(x)+g(x)\big]dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx.\\\\ 	&\int_{\alpha}^{\beta} \big[\lambda f(x)+\mu g(x)\big]dx=\lambda \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx+\mu \int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx. \end{align*}


ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο

Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα \Delta και \alpha, \beta, \gamma \in \Delta, τότε ισχύει:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx=\int_{\alpha}^{\gamma} f(x)dx+\int_{\gamma}^{\beta} f(x)dx\]

Παράδειγμα.
Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr για την οποία ισχύει:

    \[\int_{0}^{3} f(x)dx=6, \int_{0}^{5} f(x)dx=10 \quad \text{και} \quad \int_{5}^{7} f(x)dx=3\]

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
i_)\dint_{5}^{0} f(x)dx. \quad ii_) \dint_{0}^{7} f(x)dx. iii.)\dint_{5}^{3} f(x)dx. iv.)\dint_{3}^{7} f(x)dx.

Λύση
i_) Έχουμε:

    \[\int_{5}^{0} f(x)dx =-\int_{0}^{5} f(x)dx =-10.\]

ii_) Έχουμε:

    \[\int_{0}^{7} f(x)dx= \int_{0}^{5} f(x)dx+\int_{5}^{7} f(x)dx =10+3= 13.\]

iii.) Έχουμε:

    \[\int_{5}^{3} f(x)dx=-\int_{3}^{5} f(x)dx=\]

    \[-\Big(\int_{3}^{0} f(x)dx+\int_{0}^{5} f(x)dx\Big)=\]

    \[-\Big(-\int_{0}^{3} f(x)dx + \int_{0}^{5} f(x)dx\Big)=-(-6+10)=-4.\]

iv.) Έχουμε:

    \[\int_{3}^{7} f(x)dx=\int_{3}^{5} f(x)dx+\int_{5}^{7} f(x)dx=4+3=7.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *