ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

Print Friendly, PDF & Email

Για τον ορισμό της παραγώγου ξέρουμε ότι ισοδύναμα ισχύει:
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}\in A_{f}, αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το παρακάτω όριο:

    \[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.\]

και τότε γράφουμε:

    \[f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.\]

Παράδειγμα.
Έστω μια συνάρτηση f:\rr \to \rr, η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.
Να δείξετε ότι:

    \[\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+2h)-3f(x)+2f(x-h)}{h^{2}}=3f'(x)\]

Λύση
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο \rr, θα είναι και συνεχής στο \rr.
Οπότε:
Σημείωση: επειδη το παρακάτω όριο είναι ως προς h \to 0 αρα και η μεταβλητή παραγώγισης της συνάρτησης είναι το h, για την εφαρμογή του κανόνα DEL HOSPITAL.

    \[\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+2h)-3f(x)+2f(x-h)}{h^{2}}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\]

    \[&\lim_{h\to 0} \dfrac{\Bigg(f(x+2h)-3f(x)+2f(x-h)\Bigg)'}{\big(h^{2}\big)'} =\]

    \begin{align*}  &\lim_{h\to 0} \dfrac{\Bigg(f(x+2h)\Bigg)'-3\Bigg(f(x)\Bigg)'+2\Bigg(f(x-h)\Bigg)'}{\big(h^{2}\big)'} =\\\\  &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)\cdot(x+2h)'-3 \cdot 0+2f'(x-h)\cdot (x-h)'}{2h} =\\\\  &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)\cdot 2-0+2f'(x-h)\cdot (-1)}{2h} =\\\\  &\lim_{h\to 0} \dfrac{2f'(x+2h)-2f'(x-h)}{2h} =\\\\  &\lim_{h\to 0} \dfrac{2\Big(f'(x+2h)-f'(x-h)\Big)}{2h} =\\\\  &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x-h)}{h} =\\\\  &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x)-f'(x-h)+f'(x)}{h} =\\\\  &\lim_{h\to 0} \bigg[\dfrac{f'(x+2h)-f'(x)}{h}-\dfrac{f'(x-h)-f'(x)}{h}\bigg] =\\\\ \end{align*}

    \[\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x)}{h} -\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x-h)-f'(x)}{h}=\]

    \[2\cdot\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x)}{2h} + \lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x-h)-f'(x)}{-h}=\]

    \[2\cdot f''(x) + f''(x)= 3\cdot f''(x)\]

Αφού

    \begin{align*}  &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+2h)-f'(x)}{h} \xlongequal[]{u=2h}\\\\  &\lim_{u\to 0} \dfrac{f'(x+u)-f'(x)}{u}=f''(x). \end{align*}

και

    \begin{align*}  &\lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x-h)-f'(x)}{-h} \xlongequal[]{u=-h}\\\\  &\lim_{u\to 0} \dfrac{f'(x+u)-f'(x)}{u}=f''(x).  \end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *