Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Print Friendly, PDF & Email

Η σωστή χρήση του κανονα του DE L HOSPITAL απαιτεί μεγάλη προσοχή.
Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=0 και \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=0
όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\} και υπάρχει το όριο \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} πεπερασμένο ή άπειρο τότε:

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Αυτό που πρέπει να διευκρινιστεί είναι οτι οι συναρτήσεις {\color{white}{f}} \quad και {\color{white}{g}} \quad πρέπει να είναι παραγωγίσιμες σε μια περιοχή του {\color{white}{x_{0}}} με εξαίρεση ίσως το {\color{white}{x_{0}}} και όχι να υπάρχει η {\color{white}{f'(x_{0})}} μόνο!!


Παράδειγμα.1.

Έστω η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0} και είναι f(0) =0 και f'(0) =1, να βρεθεί το όριο

    \[\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}.\]

Λύση

Επειδή η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0} =0 άρα είναι και συνεχής και στο x_{0} =0 οπότε

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = f(0)=0.\]

και επειδή υπάρχει το όριο \displaystyle\lim_{x\to \x_{0}} x = 0 μπορουμε να γράψουμε:

    \[\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = \dfrac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{ \displaystyle\lim_{x\to \x_{0}} x} =\big(\dfrac{0}{0}\big).\]

Το σύνηθες λάθος που γίνεται σε αυτο το σημείο είναι το παρακάτω:

    \[\xcancel{\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} \xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}} \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{(x)'}=\lim_{x\to 0}f'(x) .}\]

επειδή από υπόθεση η f είναι παραγωγίσιμη μόνο στο x_{0}= 0 και όχι σε μια περιοχή του x_{0}

Συνεπώς ο σωστός υπολογισμός του παραπάνου ορίου είναι:

    \begin{align*} &\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = \\\\ &\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-0}{x-0} = \\\\ &\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(0) =1. \end{align*}

Με ακριβώς παρόμοιο σκεπτικό θα αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Έστω f, g ορισμένες στο [\alpha, \beta] με f(\alpha)= g(\alpha)= 0
και g(x)\neq 0 για κάθε x\in (\alpha, \beta).
Αν οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο \alpha και αν g'(\alpha)\neq 0 τότε υπάρχει και είναι ίσο με \dfrac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)} δηλαδή:

    \[\lim_{x\to \alpha^{+}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}.\]

Απόδειξη
Αφού f(\alpha)=g(\alpha)=0 τότε το πηλίκο γράφεται:

    \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(\alpha)}{g(x)-g(\alpha)}=\dfrac{\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}}{\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}}, \quad \alpha <x <\beta.\]

Επειδή f, g παραγωγίζονται στο \alpha, έχουμε

    \[\lim_{x\to \alpha^{+}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to \alpha^{+}}\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}}{\displaystyle\lim_{x\to\alpha^{+}}\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}}=\dfrac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)} \quad  \blacksquare\]

Τελικά αυτό που πρέπει να συγκρατήσουμε από τα παραπάνω είναι οτι αν ισχύουν οι προηγούμενες συνθήκες είναι λάθος να γράψουμε

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(x_{0})}{g'(x_{0})}\]

αλλα το σωστό (που αποδεικνυουμε πάντα) είναι:

    \[{\color{yellow}{\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_{0})}{g'(x_{0})}}}\]


ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣH ΓΙΑ ΤΗ ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΚΑΤΩ:
Το θεωρημα DEL HOSPITAL για το όριο \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)}{g(x)}
δεν έχει ισχύ όταν δεν υπάρχει το όριο \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}.

Παράδειγμα.
Να υπολογισθεί το όριο \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}\cdot \hm \frac{1}{x}}{\hm x}.
Λύση
Επειδη το όριο \displaystyle\lim_{x\to 0}x^{2}\cdot \hm \frac{1}{x} =0, ως μηδενική επι φραγμένη
και \displaystyle \lim_{x\to 0}\hm x =0
και η συνάρτηση f(x)=x^{2}\cdot \hm \frac{1}{x} είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχη του 0 όπως και η συνάρτηση g(x) = \hm x ειναι παραγωγίσιμη.
Εάν εφαρμόσουμε το θεώρημα DEL HOSPITAL έχουμε:

    \[\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}\cdot \hm \frac{1}{x}}{\hm x} = \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\big(x^{2}\cdot \hm \frac{1}{x}\big)'}{\Big(\hm x\Big)'}=\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{2x\cdot \hm\frac{1}{x}+\syn \frac{1}{x}}{\syn x}\]

Το τελευταίο όριο δεν υπάρχει αφού το όριο \displaystyle \lim_{x\to 0}\syn \frac{1}{x},
δεν ορίζεται, άρα το θεωρημα DEL HOSPITAL δεν έχει ισχύ.
Συνεπώς για το ζητούμενο όριο εργαζόμαστε ως εξής:

    \[\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}\cdot \hm \frac{1}{x}}{\hm x} =\displaystyle \lim_{x\to 0}\bigg(\dfrac{x}{\hm x}\cdot \dfrac{\hm \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\bigg)= \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigg[\Big(\dfrac{1}{\frac{\hm x}{ x}}\Big) \cdot x\cdot \hm\frac{1}{x} \bigg]=1\cdot0 =0.\]

Βιβλιογραφία:
Στεργίου – Νάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Ντούγιας – Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων.
Παπακωνσταντίνου αυτοέκδοση.
http://mfcosmos.com/archives/7653

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *