ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=2x-1. Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2f(x)-2x^3}\]

Λύση
Αφού η συνάρτηση f έχει στο +\infty ασύμπτωτη την ευθεία y=2x-1 ισχύουν:

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}(f(x)-2x)=-1\]

Διαιρούμε το ζητούμενο όριο με x^2 και γίνεται:

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2}}{\frac{x^2f(x)-2x^3}{x^2}}=\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{f(x)}{x}\frac{\ln(1+e^x)}{x}}{f(x)-2x}\]

Έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(1+e^x)}{x} \xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{[\ln(1+e^x)]'}{(x)'}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{e^x}{1+e^x}}{1}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{1+e^x}\xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\\\ & \lim_{x \to +\infty}\frac{(e^x)'}{(1+e^x)'}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{e^x}=1. \end{align*}

Άρα το ζητούμενο όριο γίνεται:

    \begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{f(x)}{x}\frac{\ln(1+e^x)}{x}}{f(x)-2x}=\frac{2\cdot1}{-1}=-2 \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *