ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

Print Friendly, PDF & Email

Αν ισχύουν

    \[\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty\]

όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}, τότε το όριο:

    \[\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή (+\infty)-(+\infty) ή (-\infty)-(-\infty). Για να υπολογίσουμε όρια αυτής της μορφής συνήθως βγάζουμε κοινό παράγοντα την f(x) ή τη g(x).

    \[\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]=\lim_{x \to x_0}\bigg{[}f(x)\Big(1-\frac{g(x)}{f(x)}\Big)\bigg{]}\]

‘Οπου το όριο

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}\]

είναι της μορφής \frac{\infty}{\infty} και αν πληρούνται οι προυποθέσεις εφαρμόζουμε το κανόνα De L’Hospital.

Στις περιπτώσεις που η απροσδιόριστη μορφή άπειρο μείον άπειρο (\infty - \infty) προκύπτει απο τη διαφορά των συναρτήσεων e^{x}, x^{\nu} με \nu \in \nn^* και \ln x όταν το x\to +\infty, έχουμε τα παρακάτω σχόλια:

Rendered by QuickLaTeX.com

  • Στην περιοχή του +\infty, ισχύει ότι:

        \[e^{x}> x^{\nu}>\ln x\]

    Το οποίο εύκολα βλέπουμε απο τις σχετικές γραφικές παραστάσεις.

  • Η εκθετική e^{x} πηγαίνει πιο «γρήγορα» στο +\infty και η x^{\nu} πιο «γρήγορα» στο +\infty απ’ο την \ln x
    και το όριο καθορίζεται απο αυτη που πηγαίνει στο άπειρο πιο γρήγορα.
  • Σ’αυτές τις περιπτώσεις βγάζουμε κοινό παράγοντα τη συνάρτηση που πηγαίνει πιο «γρήγορα» στο +\infty.
  • Παράδειγμα
    Να υπολογίσετε το όριο

        \[\lim_{x \to +\infty}(e^x-\ln x)\]

    Λύση
    Έχουμε:

        \begin{align*} 			                   &\lim_{x \to +\infty}(e^x-\ln x)  \xlongequal[]{+\infty-(+\infty)}\\\\\ 			                   &=\lim_{x \to +\infty}\big{[}e^x(1-\frac{\ln x}{e^x})\big{]} 					\end{align*}

    Όμως είναι:

        \begin{align*} 				&\lim_{x \to +\infty}\big{(}\frac{\ln x}{e^x}\big{)} \xlongequal[D.L.H]{\frac{+\infty}{+\infty}}\\\\\\ 				&=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{(\ln x)'}{(e^x)'}\\\\ 				&=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{e^x}\\\\ 				&=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{xe^x}= \dfrac{1}{+\infty}=0. 				\end{align*}

    Άρα το όριο γίνεται:

        \begin{align*} 							\lim_{x \to +\infty}&\bigg{[}e^x\big(1-\frac{\ln x}{e^x}\big)\bigg{]}=\\ 							&+\infty\cdot(1-0)=+\infty 												\end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα, Στεργίου-Νάκης εκδόσεις Σαββάλα, Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *