ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

Print Friendly, PDF & Email

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη άπειρο εις τη μηδενικη (\pm \infty)^{0}, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}


και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[g(x)\ln f(x)]\]

το οποίο είναι της μορφής 0\cdot\infty.
Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}\Big( x^{2}+x\Big)^{\frac{1}{x}}\]

Λύση
Έχουμε:

    \begin{align*} 	&\lim_{x \to +\infty}\Big( x^{2}+x\Big)^{\frac{1}{x}}\xlongequal[]{(+ \infty)^0}\\\\ 	&\lim_{x \to +\infty}e^{^{\ln \Big( x^{2}+x\Big)^{\frac{1}{x}}}}=\\\\ 	&\lim_{x \to +\infty}e^{^{\frac{1}{x}\ln \Big( x^{2}+x\Big)}}. \quad (1) 												\end{align*}

Όμως είναι:

    \begin{align*}  &\lim_{x \to +\infty}\Bigg(\frac{1}{x}\ln \Big( x^{2}+x\Big)\Bigg) \xlongequal[]{0\cdot (+\infty)}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln \Big( x^{2}+x\Big)}{x}\xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\Bigg(\ln \Big( x^{2}+x\Big)\Bigg)'}{(x)'}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{ x^{2}+x}\cdot \big( x^{2}+x)'}{1}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{ x^{2}+x}\cdot ( 2x+1)=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{ 2x+1}{ x^{2}+x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{ 2x}{ x^{2}} =\lim_{x \to +\infty}\frac{ 2}{ x}  =0.          		\end{align*}

Άρα απο τη σχέση (1) το όριο γίνεται:

    \begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}e^{^{\frac{1}{x}\ln \Big( x^{2}+x\Big)}}=e^{0} =1. 												\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

2 thoughts on “ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *