ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Παράδειγμα.
Έστω η συνάρτηση $f: \rr \to \rr$ για την οποία ισχύει

$f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0, \quad x\in \rr.$

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συναρτησης $f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ σε δύο τουλάχιστον σημεία.

Λύση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, $C_{f},$ με $y =f(x)$ τέμνει τον $x'x$ όταν:

$\begin{align*} &y = 0 \Leftrightarrow \\ &f(x) = 0. \end{align*}$

Απο τη συναρτησιακη σχέση της υπόθεσης $f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0,$ ψάχνουμε να βρόυμε την τιμη του $x,$ για την οποία προκύπτουν ίσοι προσθετέοι

Έχουμε $x^{2} + 6 = 5x \Rightarrow x^{2}-5x + 6 =0 \Rightarrow x = 3$ ή $x =2.$

Οπότε για $x =3,$ έχουμε:

$\begin{align*} & f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(3^{2}+6)+ f(5\cdot 3) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(9+6)+ f(15) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(15) +f(15) =0 \Leftrightarrow \\ & 2\cdot f(15) =0 \Leftrightarrow \\ & f(15) =0. \end{align*}$

Ενώ για $x =2,$ έχουμε:

$\begin{align*} & f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(2^{2}+6)+ f(5\cdot 2) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(4+6)+ f(10) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(10) +f(10) =0 \Leftrightarrow \\ & 2\cdot f(10) =0 \Leftrightarrow \\ & f(10) =0. \end{align*}$

Τελικά η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες τις $x= 10$ και $x =15,$ άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης, $C_{f},$ τέμνει τον $x'x$ σε δύο τουλάχιστον σημεία στα $A(10, 0)$ και $B(15,0).$

ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.) Έστω $f:\rr\to\rr$ για την οποία ισχύει $f(x^{2}+2)+f(3x)=0$ για κάθε $x\in \rr.$ Να δείξετε ότι η $C_{f}$ τέμνει τον $x'x$ σε δύο τουλάχιστον σημεία.

2.) Έστω $f:\rr\to\rr$ για την οποία ισχύει $f(x^{2})+f(2x)=0$ για κάθε $x\in \rr.$ Να δείξετε ότι η $C_{f}$ τέμνει τον $x'x$ σε δύο τουλάχιστον σημεία.

3.) Έστω $f:\rr\to\rr$ με $f\big(f(x)\big)=2x-1$ για κάθε $x\in \rr.$
i.) Να δείξετε ότι $f(2x-1)=2f(x)-1, \, x\in \rr.$
ii.) Να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=1$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα.

4.) Έστω $f:\rr\to\rr$ με $f\big(f(x)\big)=3x+4$ για κάθε $x\in \rr.$
i.) Να δείξετε ότι $f(3x+4)=3f(x)+4, \, x \in \rr.$
ii.) Να υπολογίσετε το $f(-2)$

5.) Έστω $f:\rr\to\rr$ με $f\big(f(x)\big)=3x-2$ για κάθε $x\in \rr.$
i.) Να δείξετε ότι $f(3x-2)=3f(x)-2, \, x\in \rr.$
ii.) Να δείξετε ότι η $C_{f}$ τέμνει την ευθεία $y=1$ σε ένα τουλάχιστον σημείο.