ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Έστω η συνάρτηση f: \rr \to \rr για την οποία ισχύει

    \[f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0, \quad x\in \rr.\]

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συναρτησης f τέμνει τον άξονα x'x σε δύο τουλάχιστον σημεία.

Λύση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, C_{f}, με y =f(x) τέμνει τον x'x όταν:

    \begin{align*} &y = 0 \Leftrightarrow \\ &f(x) = 0. \end{align*}

Απο τη συναρτησιακη σχέση της υπόθεσης f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0, ψάχνουμε να βρόυμε την τιμη του x, για την οποία προκύπτουν ίσοι προσθετέοι

Έχουμε x^{2} + 6 = 5x \Rightarrow x^{2}-5x + 6 =0 \Rightarrow x = 3 ή x =2.

Οπότε για x =3, έχουμε:

    \begin{align*} & f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(3^{2}+6)+ f(5\cdot 3) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(9+6)+ f(15) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(15) +f(15) =0 \Leftrightarrow \\ & 2\cdot f(15) =0 \Leftrightarrow \\ & f(15) =0. \end{align*}

Ενώ για x =2, έχουμε:

    \begin{align*} & f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(2^{2}+6)+ f(5\cdot 2) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(4+6)+ f(10) = 0 \Leftrightarrow \\ & f(10) +f(10) =0 \Leftrightarrow \\ & 2\cdot f(10) =0 \Leftrightarrow \\ & f(10) =0. \end{align*}

Τελικά η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες τις x= 10 και x =15, άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης, C_{f}, τέμνει τον x'x σε δύο τουλάχιστον σημεία στα A(10, 0) και B(15,0).

ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.) Έστω f:\rr\to\rr για την οποία ισχύει f(x^{2}+2)+f(3x)=0 για κάθε x\in \rr. Να δείξετε ότι η C_{f} τέμνει τον x'x σε δύο τουλάχιστον σημεία.

2.) Έστω f:\rr\to\rr για την οποία ισχύει f(x^{2})+f(2x)=0 για κάθε x\in \rr. Να δείξετε ότι η C_{f} τέμνει τον x'x σε δύο τουλάχιστον σημεία.

3.) Έστω f:\rr\to\rr με f\big(f(x)\big)=2x-1 για κάθε x\in \rr.
i.) Να δείξετε ότι f(2x-1)=2f(x)-1, \, x\in \rr.
ii.) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα.

4.) Έστω f:\rr\to\rr με f\big(f(x)\big)=3x+4 για κάθε x\in \rr.
i.) Να δείξετε ότι f(3x+4)=3f(x)+4, \, x \in \rr.
ii.) Να υπολογίσετε το f(-2)

5.) Έστω f:\rr\to\rr με f\big(f(x)\big)=3x-2 για κάθε x\in \rr.
i.) Να δείξετε ότι f(3x-2)=3f(x)-2, \, x\in \rr.
ii.) Να δείξετε ότι η C_{f} τέμνει την ευθεία y=1 σε ένα τουλάχιστον σημείο.

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *