ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ

Print Friendly, PDF & Email

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή ένα εις την άπειρο 1^{\pm \infty}, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[g(x)\ln f(x)]\]

το οποίο είναι της μορφής 0\cdot\infty.
Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)^{x}\]

Λύση
Έχουμε:

    \begin{align*} 							&\lim_{x \to +\infty}\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)^{x}\xlongequal[]{1^{+ \infty}}\\\\ 							&\lim_{x \to +\infty}e^{^{\ln \Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)^{x}}}=\\\\ 							&\lim_{x \to +\infty}e^{^{x\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)}}. \quad (1) 												\end{align*}

Όμως είναι:

    \begin{align*} 		&\lim_{x \to +\infty}\Bigg(x\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)\Bigg) \xlongequal[]{+\infty\cdot 0}\\\\ 		&\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)}{\frac{1}{x}}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\\\\ 		&\lim_{x \to +\infty}\frac{\Bigg(\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)\Bigg)'}{(\frac{1}{x})'}=\\\\ 		&\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \big(1+\frac{1}{x}\big)'}{-\frac{1}{x^2}}=\\\\                 &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \big(\frac{1}{x}\big)'}{-\frac{1}{x^2}}=\\\\                 &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \big(-\frac{1}{x^{2}}\big)}{-\frac{1}{x^2}}=\\\\                 &\lim_{x \to +\infty}{1+\frac{1}{x}}=1. 		\end{align*}

Άρα απο τη σχέση (1) το όριο γίνεται:

    \begin{align*} 					&\lim_{x \to +\infty}e^{^{x\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)}}=e^{1} =e. 												\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *