ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΙΣ ΤΗΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

Print Friendly, PDF & Email

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή μηδέν εις την μηδενική 0^0, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[g(x)lnf(x)]\]

το οποίο είναι της μορφής 0\cdot\infty.
Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to 0^+}x^x\]

Λύση
Έχουμε:

    \begin{align*} 											&\lim_{x \to 0^+}x^x \xlongequal[]{\frac{0}{0}}\\\\ 												&\lim_{x \to 0^+}e^{\ln x^x}=\\\\ 												&\lim_{x \to 0^+}e^{x\ln x}. \quad (1) 												\end{align*}

Όμως είναι:

    \begin{align*} 						&\lim_{x \to 0^+}(x\ln x) \xlongequal[]{0\cdot(-\infty)}\\\\ 						&\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\xlongequal[D.L.H]{\frac{+\infty}{+\infty}}\\\\ 						&\lim_{x \to 0^+}\frac{(\ln x)'}{(\frac{1}{x})'}=\\\\ 						&\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\\\ 						&\lim_{x \to 0^+}(-x)=0 						\end{align*}

Άρα απο τη σχέση (1) το όριο γίνεται:

    \begin{align*} 												&\lim_{x \to 0^+}e^{x\ln x}=e^0=1 												\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *