ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΠΙ ΑΠΕΙΡΟ

Print Friendly, PDF & Email

Αν ισχύουν

    \[\lim_{x \to x_0}f(x)=0 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty\]

όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}, τότε το όριο:

    \[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή 0\cdot\infty. Για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο όριο εργαζόμαστε ως εξής:

    \[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=\lim_{x \to x_0}\big{(}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}...\]

ή αλλιώς

    \[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=\lim_{x \to x_0}\big{(}\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}...\]

Σε κάθε περίπτωση αν πληρούνται οι προϋποθέσεις εφαρμόζουμε τον κανόνα του de L’Hospital.

Παράδειγμα.1
Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x.
Λύση
Έχουμε \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x = 0\cdot (-\infty).
Οπότε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x = \\ &\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{ \frac{1}{ x}} \xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\ &\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\big(\ln x\big)'}{\big( \frac{1}{ x}\big)'}=\\  & \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\frac{1}{x}}{ -\frac{1}{ x^{2}}}=\\ &\lim_{x\to0^{+}}(-x) = 0. \end{align*}

Παράδειγμα.2
Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle\lim_{x\to -\infty}x\cdot e^{x}.
Λύση
Έχουμε \displaystyle\lim_{x\to -\infty}x\cdot e^{x} =  (-\infty)\cdot 0.
Οπότε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}x\cdot e^{x} = \\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{ x}{ \frac{1}{ e^{x}}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{ x}{ e^{-x}}  \xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\ & \lim_{x\to -\infty}\dfrac{( x)'}{( e^{-x})'} =\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{- e^{-x}} \xlongequal[]{(\frac{1}{-\infty})} 0\\ \end{align*}

Παράδειγμα.3
Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}[x(e^{\frac{1}{x}}-1)]\]

Λύση
Έχουμε:

    \begin{align*} 		&\lim_{x \to +\infty}[x(e^{\frac{1}{x}}-1)] \xlongequal{(+\infty)\cdot 0}\\ 		&\lim_{x \to +\infty}\Big{(}\frac{e^\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}}\Big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\\ 		&\lim_{x \to +\infty}\frac{(e^\frac{1}{x}-1)'}{\big(\frac{1}{x}\big)'}=\\\\ 		&\lim_{x \to +\infty}\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot e^\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\\\\                 &\lim_{x \to +\infty}e^\frac{1}{x}= e^{0} =1. 	\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *