ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}, \quad \alpha,\beta\in\rr\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha και \beta, ώστε η ευθεία (\epsilon): y=2x-1 είναι ασύμπτωτη της C_f στο +\infty.

Λύση
Η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}\]

έχει πεδίο ορισμού το A_f=\rr-\{2\}.
Αφού η C_f έχει πλάγια ασύμπτωτη την (\epsilon): y=2x-1 στο +\infty ισχύουν:

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}(f(x)-2x)=-1\]

Έχουμε:

    \begin{align*} 							     &\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2  \Rightarrow\\\\                                                              &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}}{x}=2 \Rightarrow\\\\ 							     &\lim_{x \to +\infty}\frac{\alpha x^2+\beta x}{x^{2}-2x}=2 \quad (1) 							\end{align*}

Αν \alpha\neq0 τότε έχουμε:

    \[(1) \Rightarrow\lim_{x \to +\infty}\frac{\alpha x^2+\beta x}{x^{2}-2x}=2 \Rightarrow\lim_{x \to +\infty}\frac{\alpha x^{2}}{x^{2}}=2\Leftrightarrow \alpha = 2.\]

Αν \alpha=0 τότε έχουμε:

    \[(1) \Rightarrow &\lim_{x \to +\infty}\frac{0\cdot x^2+\beta x}{x^{2}-2x}=2 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty}\frac{\beta x}{x^{2}}=2\]

όπου για κάθε τιμή του \beta το παραπάνω όριο μας κάνει 0 \neq 2, οπότε άτοπο.
Έτσι ο τύπος της συνάρτησης f, για \alpha = 2 γίνεται:

    \[f(x)=\dfrac{2x^2+\beta x}{x-2}\]

και έχουμε:

    \begin{align*} 												\lim_{x \to +\infty}&(f(x)-2x)=-1 \Leftrightarrow\\ 												\lim_{x \to +\infty}&\big{(}\frac{2x^2+\beta x}{x-2}-2x\big{)}=-1 \Leftrightarrow\\ 												\lim_{x \to +\infty}&\frac{2x^2+\beta x-2x^2+4x}{x-2}=-1 \Leftrightarrow\\ 												\lim_{x \to +\infty}&\frac{(\beta+4)x}{x-2}=-1 \Leftrightarrow\\ 												&\beta+4=-1 \Leftrightarrow\\ 												&\beta=-5. 												\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *