ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Η ευθεία y=\lambda x+\beta είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty αν και μόνο αν:

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}[f(x)=\lambda x]=\beta\in\rr\]

αντιστοίχως στο -\infty

    \[\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to -\infty}[f(x)=\lambda x]=\beta\in\rr\]

Παρατηρήσεις

  • Μια συνάρτηση δεν μπορεί να έχει στο +\infty (αντίστοιχα στο -\infty) και πλάγια και οριζόντια ασύμπτωτη. Επομένως αν έχουμε βρει ότι η C_f έχει στο +\infty (αντίστοιχα στο -\infty) οριζόντια ασύμπτωτη, δεν έχει νόημα να ψάχνουμε αν έχει και πλάγια ασύμπτωτη στην περιοχή αυτή ή αντίστροφα.
  • Η γραφική παράσταση μιας σταθερής συνάρτησης έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον εαυτό της στο +\infty και στο -\infty.
  • Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=\alpha x+\beta με \alpha\neq0, έχει πλάγια ασύμπτωτη τον εαυτό της στο +\infty και στο -\infty.
  • Αποδεικνύεται ότι η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 2 δεν έχει ασύμπτωτες
  • Αποδεικνύεται ότι η γραφική παράσταση μιας ρητής συνάρτησης

        \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\]

    όπου P(x) και Q(x) πολυώνυμα τέτοια, ώστε ο βαθμός του αριθμητή P(x) είναι μεγαλύτερος τουλάχιστον κατά 2 από τον βαθμό του παρονομαστή Q(x), δεν έχει πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες.

  • Δεν πρέπει να έχουμε την εντύπωση ότι η οριζόντια ασύμπτωτη ή η πλάγια ασύμπτωτη δεν τέμνει τη C_f. Υπάρχουν συναρτήσεις που οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνουν τις οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες τους σε ένα ή περισσότερα σημεία ή ακόμη και άπειρα σημεία.
  • Αν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f περιέχει διαστήματα της μορφής (-\infty,\alpha) ή (\beta,+\infty), τότε έχει νόημα να εξετάσουμε αν η C_f έχει οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες. Εργαζόμαστε ως εξής:
    ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    • Βρίσκουμε το όριο

          \[\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\]

    • Αν \lambda\in\rr, τότε βρίσκουμε και το όριο

          \[\lim_{x \to \pm\infty}[f(x)-\lambda x]=\beta\]

    • Αν \beta\in\rr τότε η ευθεία y=\lambda x+\beta είναι ασύμπτωτη της C_f (στο +\infty ή στο -\infty.)

    Παράδειγμα.
    Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης

        \[f(x)=\sqrt{x^2+2x-3}-x\]

    Λύση
    Η συνάρτηση

        \[f(x)=\sqrt{x^2+2x-3}-x\]

    ορίζεται όταν:

        \begin{align*} 												&x^2+2x-3\geq0 \Leftrightarrow\\ 												&(x+3)(x-1)\geq0 \Leftrightarrow\\ 												&x\leq-3 \quad \text{ή} \quad x\geq1 												\end{align*}

    Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το

        \[A_f=(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)\]

    Εξετάζουμε αν η C_f έχει ασύμπτωτη στο +\infty,
    Απο θεωρία έχουμε

        \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda,\]

    οπότε:

        \begin{align*} 												&\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\\ 												&\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+2x-3}-x}{x}=\\\\ 												&\lim_{x \to +\infty}\Big{(}\frac{x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-x}{x}\Big{)}\\\\ 												&\lim_{x \to +\infty}\Big{(}\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-1\Big{)}=0.												 												\end{align*}

    Άρα \lambda = 0 δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης C_{f} έχει στο +\infty οριζόντια ασύμπτωτη και

        \[\dieplaystyle\lim_{x\to +\infty}\big[ f(x) -\lambda \cdot x\big] =\beta .\]

        \begin{align*} 												&\lim_{x \to +\infty}f(x)-0\cdot x=\\\\ 												&\lim_{x \to +\infty}(\sqrt{x^2+2x-3}-x)=\\\\ 												&\lim_{x \to +\infty}\frac{(\sqrt{x^2+2x-3}-x)(\sqrt{x^2+2x-3}+x)}{\sqrt{x^2+2x-3}+x}=\\\\ 												&\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2+2x-3-x^2}{\sqrt{x^2+2x-3}+x}=\\\\ 												&\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+2x-3}+x}=1 												\end{align*}

    Συνεπώς \beta = 1.
    Άρα η ευθεία y=\lambda \cdot x +\beta με \lambda = 0 και \beta = 1 δηλαδή η εθεία y=1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C_f στο +\infty.
    Εξετάζουμε αν η C_f έχει ασύμπτωτη στο -\infty.
    Απο θεωρία έχουμε

        \[\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda,\]

    οπότε:

        \begin{align*} 												&\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\\\\ 												&\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+2x-3}-x}{x}=\\\\ 												&\lim_{x \to -\infty}\big{(}\frac{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-x}{x}\big{)}=\\\\ 												&\lim_{x \to -\infty}\big{(}-\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-1\big{)}=-2 																								\end{align*}

    Άρα \lambda = -2 και

        \[\dieplaystyle\lim_{x\to -\infty}\big[ f(x) -\lambda \cdot x\big] =\beta .\]

        \begin{align*} 												&\lim_{x \to -\infty}(f(x)+2x)=\\\\ 												&\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+2x-3}+x)\\ 												&=\lim_{x \to -\infty}\frac{(\sqrt{x^2+2x-3}+x)(\sqrt{x^2+2x-3}-x)}{\sqrt{x^2+2x-3}-x}=\\\\ 												&\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2+2x-3-x^2}{\sqrt{x^2+2x-3}-x}=\\\\ 												&=\lim_{x \to -\infty}\frac{2x-3}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-x}=\\\\ 												&\lim_{x \to -\infty}\frac{2x-3}{-x(\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}+1)}=-1. 												\end{align*}

    Συνεπώς \beta = -1
    Άρα η ευθεία y=\lambda \cdot x +\beta με \lambda = -2 και \beta = -1 δηλαδή η εθεία y=-2x-1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C_f στο -\infty.
    Ελέγχουμε αν η συνάρτηση έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

        \begin{align*} 												&\lim_{x \to 3^-}f(x)=\\ 												&=\lim_{x \to 3^-}(\sqrt{x^2+2x-3}-x)\\ 												&=3 												\end{align*}

    Άρα η C_f δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο -3.

        \begin{align*} 												&\lim_{x \to 1^+}f(x)=\\ 												&=\lim_{x \to 1^+}(\sqrt{x^2+2x-3}-x)\\ 												&=-1 												\end{align*}

    Άρα η C_f δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 1.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *