ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΓΙΑΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Η ευθεία y=\lambda x+\beta λέγεται ασύμπτωτη, της γραφικής παράστασης της f στο +\infty (αντιστοίχως στο -\infty) αν:

    \[\lim_{x \to +\infty}[f(x)-(\lambda x+\beta)]=0\]

αντιστοίχως

    \[\lim_{x \to -\infty}[f(x)-(\lambda x+\beta)]=0\]

Η ασύμπτωτη y=\lambda x+\beta είναι οριζόντια ασυμπτωτη αν \lambda=0, ενώ αν \lambda\neq0 λέγεται πλάγια ασύμπτωτη.

Για να αποδείξουμε ότι μια ευθεία y=\lambda x+\beta είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο +\infty ή στο -\infty αρκεί να αποδείξουμε αντίστοιχα ότι:

    \[\lim_{x \to +\infty}[f(x)-(\lambda x+\beta)]=0 \quad \text{ή} \quad \lim_{x \to -\infty}[f(x)-(\lambda x+\beta)]=0\]


Παράδειγμα.1.

Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{3x^2-7x+2}{x-3}\]

Να αποδείξετε ότι η ευθεία y=3x+2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C_f στο -\infty.
Λύση
Η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{3x^2-7x+2}{x-3}\]

έχει πεδίο ορισμού το A_f=\rr-\{3\}.
Έχουμε:

    \begin{align*} 												&\lim_{x \to -\infty}[f(x)-3x-2]=\\ 												&\lim_{x \to -\infty}\big{(}\frac{3x^2-7x+2}{x-3}-3x-2\big{)}=\\ 												&\lim_{x \to -\infty}\frac{3x^2-7x+2-3x^2-2x+9x+6}{x-3}=\\ 												&\lim_{x \to -\infty}\frac{8}{x-3}=0\\ 												\end{align*}

Άρα η ευθεία y=3x+2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C_f στο -\infty.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *