ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

Print Friendly, PDF & Email
  • Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα \Delta και (\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta είναι η εφαπτομένη της C_f σε ένα σημείο της M(x_0,f(x_0), με x_0\in\Delta, τότε η C_f βρίσκεται πάνω από την (\epsilon), με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε x\in\Delta ισχύει ότι

        \[f(x)\geq \alpha x+\beta.\]

  • Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα \Delta και (\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta είναι η εφαπτομένη της C_f σε ένα σημείο της M(x_0,f(x_0), με x_0\in\Delta, τότε η C_f βρίσκεται κάτω από την (\epsilon), με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε x\in\Delta ισχύει ότι

        \[f(x)\leq \alpha x+\beta.\]

  • Παράδειγμα.1.
    Να βρεθει η εφαπτομενη της C_{f}, με f(x) = e^{x} στο σημείο M\big(0,f(0)\big) και στη συνέχεια να δείξετε ότι

        \[e^{x}\geq x+1 \text{ για κάθε} \,\,  x\in \rr.\]

    Λύση
    f(x) = e^{x} με A_{f} = \rr, στο οποίο είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, με

        \[f'(x) = e^x.\]

    Η εφαπτομένη της C_{f} στο σημείο Μ\big(0,f(0)\big) είναι:

        \[(\epsilon): y -f(0) = f'(0)\cdot(x-0).\]

    δηλαδή

        \[(\epsilon): y -e^{0} = e^{0}\cdot x .\]

    οπότε

        \[(\epsilon): y = x+1.\]

    Επειδή η f(x) = e^x είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο \rr, με

        \[f''(x) =e^{x}>0 \text{\, για κάθε \, \,}  x\in \rr.\]

    Οπότε η C_{f} είναι ΚΥΡΤΗ \smile, στο \rr.
    Δηλαδή C_f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη (\epsilon):y = x+1, με εξαίρεση το σημείο επαφής M\big(0,f(0)\big).
    Άρα

        \[f(x) \geq x+1\]

    ή

        \[e^{x} \geq x+1 \,\text{ για κάθε}\,  x\in \rr,\]

    με την ισότητα να ισχύει μόνο για x= 0.

    Παράδειγμα.2.
    Να βρεθει η εφαπτομενη της C_{f}, με f(x) = \ln x στο σημείο M\big(1,f(1)\big) και στη συνέχεια να δείξετε ότι

        \[\ln x\leq x-1 \text{ για κάθε} \,\,  x>0.\]

    Λύση
    f(x) = \ln x με A_{f} = (0,+\infty), στο οποίο είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, με

        \[f'(x) =\dfrac{1}{x}.\]

    Η εφαπτομένη της C_{f} στο σημείο Μ\big(1,f(1)\big) είναι:

        \[(\epsilon): y -f(1) = f'(1)\cdot(x-1).\]

    δηλαδή

        \[(\epsilon): y -\ln 1 = \dfrac{1}{1}\cdot (x-1) .\]

    οπότε

        \[(\epsilon): y = x-1.\]

    Επειδή η f'(x) =\dfrac{1}{x} η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+\infty), με

        \[f''(x) =-\dfrac{1}{x^{2}} < 0 \text{\, για κάθε \, \,}  x>0.\]

    Οπότε η C_{f} είναι ΚΟΙΛΗ \frown, στο (0,+\infty).
    Δηλαδή C_f βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη (\epsilon):y = x-1, με εξαίρεση το σημείο επαφής M\big(1,f(1)\big).
    Άρα

        \[f(x) \leq x-1\]

    ή

        \[\ln x \leq x-1 \,\text{ για κάθε}\,  x>0,\]

    με την ισότητα να ισχύει μόνο για x= 1.

    Παράδειγμα.3.
    Δίνεται η συνάρτηση

        \[f(x)=e^{2x}+x^4\]

    α.) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα.
    β.) Να βρείτε την εφαπτομένη της C_f στο σημείο της A(0,f(0)).
    γ.) Να αποδείξετε ότι

        \[e^{2x}\geq1+2x-x^4\]

    Λύση
    α.) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \rr. Για κάθε x\in\rr είναι:

        \[f'(x)=2e^{2x}+4x^3\]

    Επίσης για κάθε x\in\rr είναι:

        \[f''(x)=4e^{2x}+12x^2>0\]

    Άρα η f είναι κυρτή στο \rr.
    β.) Έχουμε:

        \[f(0)=1 \quad \text{και} \quad f'(0)=2\]

    Άρα η εφαπτομένη της C_f στο σημείο της A(0,f(0)) έχει εξίσωση:

        \begin{align*} 												&y-f(0)=f'(0)(x-0) \Leftrightarrow\\ 												&y-1=2x\\                                                                                                 & y=2x +1.   												\end{align*}

    γ.) Η C_f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη y=2x+1 με εξάιρεση το σημείο επαφής A(0,f(0)). Δηλαδή για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

        \begin{align*} 												&f(x)\geq2x+1 \Leftrightarrow\\ 												&e^{2x}+x^4\geq2x+1 \Leftrightarrow\\ 												&e^{2x}\geq1+2x-x^4 												\end{align*}

    Η ισότητα ισχύει για x=0, μόνο.
    Παράδειγμα.4.
    α.) Έστω f:\Delta\rightarrow\rr μια κυρτή συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι

        \[\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\geq f(\frac{\alpha+\beta}{2}) \quad \text{για κάθε} \quad \alpha,\beta\in\rr\]

    β.) Δίνεται η συνάρτηση

        \[f(x)=x\ln x, \quad x>0\]

    Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα.
    Λύση
    α.) Αν \alpha=\beta, η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε γίνεται:

        \begin{align*} 					&\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\geq f(\frac{\alpha+\beta}{2}) \Leftrightarrow\\\\ 				        &\frac{2f(\alpha)}{2}\geq f(\frac{2\alpha}{2}) \Leftrightarrow\\\\ 					&f(\alpha)\geq f(\alpha) 				        \end{align*}

    Που ισχύει ως ισότητα.
    Αν \alpha<\beta, τότε η f ικανοποιεί τις συνθήκες του Θ.Μ.Τ σε καθένα από τα διαστήματα

        \[[\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2}] \quad \text{και} \quad [\frac{\alpha+\beta}{2},\beta]\]

    Επομένως:
    Υπάρχει

        \[\xi_1\in(\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2})\]

    ώστε:

        \begin{align*} 					f'(\xi_1)&=\frac{f(\frac{\alpha+\beta}{2})-f(\alpha)}{\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha}\\\\ 						&=\frac{f(\frac{\alpha+\beta}{2})-f(\alpha)}{\frac{\beta-\alpha}{2}} 												\end{align*}

    Υπάρχει

        \[\xi_2\in(\frac{\alpha+\beta}{2},\beta)\]

    ώστε:

        \begin{align*} 						f'(\xi_2)&=\frac{f(\beta)-f(\frac{\alpha+\beta}{2})}{\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}}\\\\ 							  &=\frac{f(\beta)-f(\frac{\alpha+\beta}{2})}{\frac{\beta-\alpha}{2}} 												\end{align*}

    Όμως η f είναι κυρτή στο \rr, άρα η f' είναι γνησίως αύξουσα στο \rr. Επομένως έχουμε:

        \begin{align*} 	&\xi_1<\xi_2 \stackrel{ f \uparrow}{\Leftrightarrow}\\\\ 	&f(\xi_1)<f(\xi_2) \Leftrightarrow\\\\         &\frac{f(\frac{\alpha+\beta}{2})-f(\alpha)}{\frac{\beta-\alpha}{2}}<\frac{f(\beta)-f(\frac{\alpha+\beta}{2})}{\frac{\beta-\alpha}{2}} \Leftrightarrow\\\\ &f(\frac{\alpha+\beta}{2})-f(\alpha)<f(\beta)-f(\frac{\alpha+\beta}{2}) \Leftrightarrow\\\\ &2f(\frac{\alpha+\beta}{2})<f(\beta)+f(\alpha) \Leftrightarrow\\\\ &f(\frac{\alpha+\beta}{2})<\frac{f(\beta)+f(\alpha)}{2} \end{align*}

    Αν \alpha>\beta η απόδειξη είναι ανάλογη. Άρα για κάθε \alpha,\beta\in\rr ισχύει ότι:

        \[f(\frac{\alpha+\beta}{2})\leq\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\]

    β.) Η συνάρτηση f(x)=x\ln x είναι παραγωγίσιμη για x>0. Επομένως έχουμε:

        \begin{align*} 												&f'(x)=\ln x+x\frac{1}{x} \Leftrightarrow\\ 												&f'(x)=\ln x+1 												\end{align*}

    και

        \[f''(x)=\frac{1}{x}>0\]

    Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή για x>0.
    Από το πρώτο υποερώτημα και για \alpha,\beta>0 έχουμε:

        \begin{align*} 			&f(\frac{\alpha+\beta}{2})\leq\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \Leftrightarrow\\\\ 			&\frac{\alpha+\beta}{2}\ln\frac{\alpha+\beta}{2}\leq\frac{\beta \ln\beta+\alpha \ln\alpha}{2} \Leftrightarrow\\\\ 			&\ln\frac{\alpha+\beta}{2}\leq\frac{\beta \ln\beta+\alpha \ln\alpha}{\alpha+\beta}.                         \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *