ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta, της οποίας ο τύπος περιέχει μια παράμετρο.
Αν θέλουμε να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου, ώστε η γραφική παράστσταση, C_f, να έχει σημείο καμπής στο x_0, τότε απαιτούμε να ισχύει

    \[f''(x_0)=0.\]

Επειδή η παραπάνω συνθήκη είναι αναγκαία, αλλά όχι και ικανή, πρέπει για κάθε τιμή της παραμέτρου που θα βρούμε, να εξετάσουμε αν πράγματι το x_0 είναι θέση σημείου καμπής.
Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\alpha x^3+\beta x^2, \quad \alpha,\beta\in\rr\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha και \beta ώστε η C_f να έχει σημείο καμπής το A(-1,4).
Λύση
Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \rr. Για να έχει σημείο καμπής στο x_0=-1 πρέπει να ισχύει ότι f''(-1)=0.
Για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f'(x)=3\alpha x^2+2\beta x\]

Επίσης για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f''(x)=6\alpha x+2\beta\]

Έχουμε:

    \begin{align*} 												&f''(-1)=0 \Leftrightarrow\\ 												&-6\alpha+2\beta=0 \Leftrightarrow\\ 												&\beta=3\alpha 												\end{align*}

Επίσης έχουμε ότι:

    \begin{align*} 												&f(-1)=4 \Leftrightarrow\\ 												&-\alpha+\beta=4 \Leftrightarrow\\ 												&2\alpha=4 \Leftrightarrow\\ 												&\alpha=2 												\end{align*}

και

    \[\beta=6\]

Επειδή η συνθήκη f''(-1)=0 είναι απαραίτητη αλλά όχι ικανή, πρέπει να ελέγξουμε αν οι παραπάνω τιμές είναι δεκτές.
Για \alpha=2 και \beta=6 έχουμε:

    \[f''(x)=12x+12\]

    \begin{align*} 												&f''(x)=0 \Leftrightarrow\\ 												&12x+12=0 \Leftrightarrow\\ 												&x=-1 												\end{align*}

Σχηματίζουμε τον πίνακα:

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		           &    & {\quad\tiny{$ +\infty$}}   &						\\ \hline $  f''$		 &                   &   $ -$	 & $ \,\,\,0$		     & $ +$          &		&												\\ \hline \end{tabular}\\ \]

Άρα για \alpha=2 και \beta=6 η f έχει σημείο καμπής, οπότε οι τιμές είναι δεκτές.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *