ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f πολλαπλού τύπου η οποία αλλάζει τύπο στο x_0. Για να μελετήσουμε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης, f'', για x<x_0 και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, f'', για x<x_0.
  • Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης, f'', για x>x_0 και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, f'', για x>x_0.
  • ,

  • Σχηματίζουμε ενιαίο πίνακα με το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, f'', και την κυρτότητα της συνάρτησης f.
    • Το x_0 είναι θέση σημείου καμπής, όταν:
      \circ Η f έχει εφαπτομένη στο x_0
      \circ Αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x_0.
      ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
      Δεν χρειάζεται να ελέγξουμε αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x_0.

    Παράδειγμα. 1.
    Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και το σημείο καμπής την συνάρτηση

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2-2x+6, \quad x\leq1$ \\\\ $x^3-9x^2+15x-2, \quad x>1$ \end{tabular} \right.  \]

    Λύση
    Η f έχει πεδίο ορισμού το \rr. Βρίσκουμε την f'.
    Για x<1 είναι:

        \[f'(x)=2x-2\]

    Για x>1 είναι:

        \[f'(x)=3x^2-18x+15\]

    Εξετάζουμε αν η συνάρτηση, f είναι συνεχής στο x_{0} =1.

        \[\lim_{x \to 1^-}f(x)=5\]

        \[\lim_{x \to 1^+}f(x)=5\]

    Από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι το όριο της συνάρτησης f στο x_{0} =1, υπάρχει και είναι

        \[\lim_{x\to 1}f(x) =5=f(1)\]

    Άρα η f είναι συνεχής στο x_{0} =1.
    Εξετάζουμε, τώρα αν η συνάρτηση f, είναι παραγωγίσιμη στο x_{0} =1.

        \begin{align*} 											f'_{-}(1)&=\lim_{x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ 												&=\lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-2x+6-5}{x-1}\\ 												&=\lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-2x+1}{x-1}\\ 												&=\lim_{x \to 1^-}\frac{(x-1)^2}{x-1}\\\\ 												&=\lim_{x \to 1^-}(x-1)=0 												\end{align*}

    Επίσης

        \begin{align*} 											f'_{+}(1)&=\lim_{x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ 											&=\lim_{x \to 1^+}\frac{x^3-9x^2+15x-2-5}{x-1}\\ 											&=\lim_{x \to 1^+}\frac{x^3-9x^2+15x-7}{x-1}\\ 											&=\lim_{x \to 1^+}\frac{(x-1)(x^2-8x+7)}{x-1}\\ 											&=\lim_{x \to 1^+}(x^2-8x+7)=0 												\end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0} =1, με

        \[f'(1)=0\]

    Επομένως έχουμε:

        \[f'(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $2x-2, \quad x\leq1$ \\\\ $3x^2-18x+15, \quad x>1$ \end{tabular} \right.  \]

    Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης, f'':
    Για x<1 έχουμε:

        \[f''(x)=2.\]

    Για x>1 έχουμε:

        \begin{align*} 												&f''(x)=6x-18=6(x-3). 												\end{align*}

    Την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f στο x_{0}=1, δηλαδή την τιμή f''(1), δεν χρειάζεται να την υπολογίσουμε οπότε σχηματίζουμε τον πίνακα:

        \[										 \begin{tabular}{|r|  l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $1$ 		&        & $ 3$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $2 $    &                 &    $+$    &$ |$	        &    & $ |$     &     &	                      						\\ \hline $6(x-3) $    &                  &       &$ |$	        &  $ -$  & $ 0$     & $ +$	    &	                      						\\ \hline  $f'' $    &                 &     $+$    &$ |$	        &  $ -$  & $ 0$     & $ +$	    & \\ \hline  $C_{f} $    &                   & $\smile$      &Σ.Κ.        &  $\frown$ & Σ.Κ.    & $\smile$    & \\ \hline \end{tabular}\]

    Η συνάρτηση f είναι κυρτή \smile στο (-\infty,1] και στο [3,+\infty)
    και κοίλη\frown στο [1,3].
    Η C_f έχει σημεία καμπής στις θέσεις x_1=1 το A(1,5) και x_0=3 το B(3,-11).

    Παράδειγμα.2. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και το σημείο καμπής την συνάρτηση

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^3+6x^2, \quad x\leq1$ \\\\ $x^3-9x^2+15, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]

    Λύση
    Η συνάρτηση ,f έχει πεδίο ορισμού το \rr, στο οποίο
    Για x<1, η f(x)=x^3+6x^2, είναι συνεχης.
    Για x>1, η f(x)=x^3-9x^2+15, είναι συνεχης.
    Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο x_{0}=1.

        \[\lim_{x \to 1^-}f(x)=7\]

        \[\lim_{x \to 1^+}f(x)=7\]

    Από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε

        \[\lim_{x \to 1}f(x)=7=f(1).\]

    Άρα η f είναι συνεχής στο x_{0}=1.
    Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης, f',
    Για x<1 είναι:

        \[f'(x)=3x^2+12x\]

    Για x>1 είναι:

        \[f'(x)=3x^2-18x\]

    Εξετάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=1.

        \begin{align*} 									f_{-}'(1)&=\lim_{x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ 											&=\lim_{x \to 1^-}\frac{x^3+6x^2-7}{x-1}\\ 											&=\lim_{x \to 1^-}\frac{(x-1)(x^2+7x+7)}{x-1}\\ 												&=\lim_{x \to 1^-}(x^2+7x+7)\\ 												&=15 												\end{align*}

        \begin{align*} 											f_{+}'(1)&=\lim_{x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\\ 												&=\lim_{x \to 1^+}\frac{x^3-9x^2+15-7}{x-1}\\ 												&=\lim_{x \to 1^+}\frac{x^3-9x^2+8}{x-1}\\ 											&=\lim_{x \to 1^+}\frac{(x-1)(x^2-8x-8)}{x-1}\\ 												&=\lim_{x \to 1^+}(x^2-8x-8)\\ 												&=-15 												\end{align*}

    Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=1, με

        \[f'(1)=0\]

    Επομένως έχουμε:

        \[f'(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $3x^2+12x, \quad x\leq1$ \\\\ $3x^2-18x, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]

    Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της στυνάρτησης, f''.
    Για x<1 έχουμε:

        \[f''(x)=6x+12\]

    Για x>1 έχουμε:

        \[f''(x)=6x-18=6(x-3)\]

    Σχηματίζουμε τον πίνακα:

        \[	 \begin{tabular}{|r| l c c c  c c c  c   r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-2$ 		&        & $ 1$     &  &$3$      &{\tiny{$ +\infty$}}  & 					\\ \hline $6x+12$    &                   &   $-$    &$ 0$	        &  $ +$  & $ |$     &     &	          $|$            &	&			\\ \hline $6(x-3)$    &                   &       &$ |$	        &   & $ |$     & $ -$	    &	          $0$            &	$+$ 	&			\\ \hline $f''$    &                   &   $ -$    &$ 0$	        &  $+ $  & $ ||$     & $ -$	    &	          $0$            &	$+$ 	&			\\ \hline $ C_{f}$    &                   &   $ \frown $    & Σ.Κ.        &  $ \smile $  & $ |$     & $ \frown$	    &	          Σ.Κ.            &	$\smile$ 	&		\\ \hline \end{tabular} \]

    Η συνάρτηση f είναι κοίλη, \frown, στο (-\infty,-2] και στο [1,3] και κυρτή, \smile, στο [-2,1] και στο [3,+\infty).
    Η C_f έχει σημεία καμπής στις θέσεις x_1=-2 το A(-2,16) και x_2=3 το B(3,-39).
    Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=1 άρα δεν έχει σημείο καμπής στο x_{0}=1.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *