ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (\alpha,\beta), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο τπυ x_0. Αν:

  • Η f είναι κυρτή στο (\alpha,x_0) και κοίλη στο (x_0,\beta), ή αντιστρόφως, και
  • Η C_f έχει εφαπτομένη στο σημείο A(x_0,f(x_0))
  • Τότε το σημείο A(x_0,f(x_0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

    Θεώρημα
    Αν το A(x_0,f(x_0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε f''(x_0)=0.

    Παρατηρήσεις.

  • Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή αν f''(x_0)=0 το A(x_0,f(x_0)) δεν είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της f.
  • Η εφαπτομένη της C_f σε ένα σημείο καμπής «διαπερνά την καμπύλη».
  • Μια συνάρτηση f μπορεί να έχει σημείο καμπής στο x_0 χωρίς να είναι παραγωγίσιμη στο x_0. Η C_f τότε δέχεται κατακόρυφη εφαπτομένη.
  • Τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος \Delta στα οποία η f'' είναι διάφορη του μηδενός δεν είναι θέσεις σημείων καμπής.
    • Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα \Delta είναι:
      \circ Τα εσωτερικά σημεία του \Delta στα οποία η f'' μηδενίζεται.
      \circ Τα εσωτερικά σημεία του \Delta στα οποία δεν υπάρχει η f'.'

    Κριτήριο σημείων καμπής
    Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα (\alpha,\beta) και x_0\in(\alpha,\beta). Αν:

  • Η f'' αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x_0 και
  • ορίζεται εφαπτομένη της C_f στο A(x_0,f(x_0))
  • τότε το A(x_0,f(x_0)) είναι σημείο καμπής.
    Παράδειγμα.
    Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής την συνάρτηση

        \[f(x)=ln(x^2+4).\]

    Λύση

    Η συνάρτηση

        \[f(x)=ln(x^2+4)\]

    ορίζεται όταν:

        \begin{align*} 												&x^2+4>0 \Leftrightarrow\\ 												&x^2<-4 \quad \text{που ισχύει για κάθε} \quad x\in\rr 												\end{align*}

    Άρα το πεδιο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A=\rr.
    Για κάθε x\in\rr είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με,

        \[f'(x)=\frac{2x}{x^2+4}\]

    Επίσης για κάθε x\in\rr είναι:

        \begin{align*} 												f''(x)	&=\frac{2(x^2+4)-2x2x}{(x^2+4)^2}\\ 												&=\frac{2x^2+8-4x^2}{(x^2+4)^2}\\ 												&=\frac{-2x^2+8}{(x^2+4)^2}\\ 												&=\frac{-2(x^2-4)}{(x^2+4)^2} 												\end{align*}

    Έχουμε:

        \begin{align*} 												&f''(x)=0 \Leftrightarrow\\ 												&\frac{-2(x^2-4)}{(x^2+4)^2}=0 \Leftrightarrow\\ 												&x^2-4=0 \Leftrightarrow\\ 												&x\pm2 												\end{align*}

    Βρίσκουμε το πρόσημο της f'':

        \[										 \begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-2$ 		&        & $ 2$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $-2(x^2-4) $    &                   &  $-$    &$ 0$	        &  $ +$  & $ 0$     & $ -$	    &	                      						\\ \hline $(x^2+4)^2 $    &                  &    $+$    &$ |$	        &  $ +$  & $ |$     & $ +$	    &	                      						\\ \hline  $f'' $    &                 &    $-$     &$ 0$	        &  $ +$  & $ 0$     & $ -$	    & \\ \hline  $C_{f}$    &                 &    $\frown$     &$ |$	        &  $ \smile$  & $ |$     & $\frown $	    & \\ \hline \end{tabular}\]

    Η f είναι κοίλη \frown στο (-\infty,2] και στο [2,+\infty) και κυρτή \smile στο [-2,2].
    Επίσης η C_f έχει σημείο καμπής στο x_1=-2 το

        \[A=(-2,ln8)\]

    και στο x_2=2 το

        \[B=(2,ln8).\]

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *