ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Αν μια εξίσωση περιέχει μια πραγματική, παράμετρο \lambda \in \rr, τότε για να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του \lambda \in \rr, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Λύνουμε την εξίσωση ως προς \lambda \in \rr, ώστε αυτή να πάρει τη μορφή f(x) = \lambda.
  • Μελετάμε την f ως προς την μονοτονία και βρίσκουμε τα διαστήματα \Delta_{1}, \Delta_{2},\cdots του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, σεκαθένα από την οποία η συνάρτηση f, διατηρεί μονοτονία.
  • Για τις διάφορες τιμές τις παραμέτρου \lambda \in \rr, βρίσκουμε σε πόσα από τα διαστήματα f(\Delta_{1}),f(\Delta_{2}),\cdots ανήκει η παράμετρος \lambda, οπότε αυτό θα είναι το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = \lambda.
  • Παράδειγμα.
    Να βρείτε το πλήθων των ριζών της παραμετρικής εξίσωσης:

        \[3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+3 -\lambda =0.\]

    Λύση

    Για κάθε x\in \rr, η παραμετρική, εξίσωση γίναται:

        \[3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+3 = \lambda.\]

    Θεωρούμε τη συνάρτηση:

        \[f(x) = 3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+3, \quad \text{με} \quad x \in \rr.\]

    Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης για x\in \rr.

        \begin{align*} f'(x) &= 12x^{3}-12x^{2}-24x\Leftrightarrow \\\\ f'(x) &= 12x\cdot( x^{2}-x-2)\Leftrightarrow \\\\ f'(x)&=12x\cdot (x+1)\cdot(x-2) \end{align*}

    Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης f

        \begin{align*} &f'(x) =  0 \Leftrightarrow\\\\  &12x\cdot (x+1)\cdot(x-2) = 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{tabular}{ll} $ x= 0$ \\ ή \\ $x = -1$\\ ή \\ $x = 2$ \end{tabular} \right.   \end{align*}

    Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της παραγώγου f' και της μονοτονίας και ακροτάτων της συνάρτησης f.

        \[	 \tiny{ \begin{tabular}{r l c c c  c c c  c   r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $ }         &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		&        & $ 0$     &  &$2$      &  & 		\multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}	}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$12\cdot x$ }   &                   &  $-$  &$ |$	      &  $ -$  & $ 0$     & $ +$	    &	       $|$            &	$+$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x +1$ }   &                   &  $-$  &	 $0$     &  $ +$  &  $ | $   & $ +$	    &	       $|$            &	$ +$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -2$ }   &                   &  $-$  &	 $|$     &  $ -$  &  $ | $   & $ -$	    &	       $0$            &	$ +$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ }   &                   &  $-$  &	 $0$     &  $ +$  &  $ 0 $   & $ -$	    &	       $0$            &	$ +$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ }   &                   &  $ \searrowtail$   &	   $ | $     &  $\nearrowtail$ & $ |$     & $ \searrowtail$	    &	          $|$        & 	$\nearrowtail$	&  \multicolumn{1}{r|}{}\\ \hline    &                   &     &	  T.Ε.     &   &  T.Μ.     &     &	          T.Ε.       & 	&  \\  &                   &     &	  $ f(-1)$    &   &  $ f(0)$     &     &	         $ f(2)$       & 	&  \end{tabular} } \]

    Επομέμως έχουμε:
    Στο \Delta_{1}= (-\infty, -1] η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{1}) =\big[ f(-1), \displaystyle\lim_{x\to -\infty } f(x)\Big)= [-2, +\infty).\]

    Στο \Delta_{2}= [-1, 0] η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{2}) =\big[ f(-1), f(0)\big]= [-2,3].\]

    Στο \Delta_{3}= [0, 2] η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{2}) =\big[ f(2), f(0)\big]= [-29,3].\]

    Στο \Delta_{4}= [ 2, +\infty) η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{4}) =\big[ f(2), \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)\big)= [-29,+\infty).\]

    Οπότε για την παραμετρική εξίσωση f(x) = \lambda, \quad \lambda \in \rr, διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

    • i) Αν \lambda < -29 η εξίσωση f(x) = \lambda είναι αδύνατη.
    • ii) Αν \lambda =-29 η εξίσωση f(x) = \lambda έχει μια μονο ρίζα την x = 2.
    • iii) Αν -29 <\lambda < -2 η εξίσωση f(x) = \lambda έχει δύο ακριβως ρίζες τις x_{1}\in (0,2) και x_{2}\in (2,+\infty)
    • iv) Αν \lambda =- 2 η εξίσωση f(x) = \lambda έχει τρεις ακριβως ρίζες τις x_{3}=-1, x_{4}\in (0,2) και x_{5}\in (2,+\infty)
    • v) Αν -2 <\lambda < 3 η εξίσωση f(x) = \lambda
    • έχει τέσσερις ακριβώς ρίζες τις x_{6}\in (-\infty, -1), x_{7}\in (-1,0) x_{8}\in (0,2) και x_{9}\in (2,+\infty)

    • vi) Αν \lambda = 3 η εξίσωση f(x) = \lambda έχει τρεις ακριβως ρίζες τις x_{10}\in (-\infty, -1), x_{11}= 0 και x_{12}\in (2,+\infty)
    • vii) Αν \lambda > 3 η εξίσωση f(x) = \lambda έχει τρεις ακριβως ρίζες τις x_{13}\in (-\infty, -1), και x_{14}\in (2,+\infty)

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *