ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Στις ασκήσεις που αναζητάμε την ύπαρξη μοναδικής ρίζας μιας συνάρτησης, και δεν γνωρίζουμε συγκεκριμένο διάστημα στο οποίο θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε, κάποιο απο τα υπαρξιακά θεωρήματα Bolzano, Rolle τότε εργαζόμαστε ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλουε τους όρους της δοθείσας εξίσωσης στο πρώτο μέλος
  • Ορίζουμε το πρώτο μέλος ως μια συνάρτηση f(x), οπότε η f(x)=0, είναι η εξίσωση που αναζητάμε την ύπαρξη της μοναδικής ρίζας.
  • Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
  • Αν το μηδεν ανήκει στο σύνολο τιμών δηλαδή 0\in f(A), τότε η εξίσωση έχει ρίζα.
  • Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική.

Παράδειγμα.
Να αποδείξετε ότι έχει μοναδική ρίζα οι παρακάτω εξισώσεις:

    \[i) \,\, x^{3}-6x^{2}+12x+\ln x= 0. \quad ii)\,\, x^{3}-6x^{2}+12x+\ln x= 7\]

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

    \[f(x)= x^{3}-6x^{2}+12x+\ln x.\]

Η οποία έχει πεδίο ορισμού A_{f} =(0,+\infty) στο οποίο είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
Για κάθε x>0 είναι:

    \begin{align*} f'(x) = & \big(x^{3}-6x^{2}+12x+\ln x \big)' \Leftrightarrow \\\\ f'(x) = & 3x^{2}-12x+12 +\dfrac{1}{x} \Leftrightarrow \\\\ f'(x) = & 3\cdot (x^{2}-4x+4)+ \dfrac{1}{x}\Leftrightarrow \\\\ f'(x) = & 3\cdot( x-2)^{2}+ \dfrac{1}{x}>0 \quad \text{αφού} \quad x>0. \end{align*}

Άρα η συνάσρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +\infty).
Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, είναι το

    \[f(A)= \Big(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x), \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)\Big)= (-\infty,+\infty).\]

i) Παρατηρούμε ότι το 0 \in f(A), οπότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει ρίζα, άρα και η αρχική έχει μια τουλάχιστον ρίζα για κάθε x>0.
Επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα) άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

ii) Παρατηρούμε ότι το 7 \in f(A), οπότε η εξίσωση f(x) = 7 έχει ρίζα, άρα και η αρχική έχει μια τουλάχιστον ρίζα για κάθε x>0.
Επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα) άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *