ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω οτι η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [\alpha, \beta], τότε από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, η συνάρτηση f, παρουσιάζει ένα ελάχιστο m και ένα μέγιστο M.
Τότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, είναι το διάστημα [m,M]. Για να βρούμε το ελάχιστο και το μέγιστο της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε τις πιθανές θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης f, οι οποίες είναι:
    • Τα σημεία x_{0}\in A_{f}, στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f μηδενίζεται.
    • Τα σημεία x_{0}\in A_{f}, στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f δεν ορίζεται.
    • Τα άκρα των κλειστων διαστημάτων του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f.
  • Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης f στα παραπάνω σημεία.
  • Από τις παραπάνω τιμές η μικρότερη είναι το ελάχιστο της συνάρτησης f και η μεγαλύτερη το μέγιστο της συνάρτησης f.
  • Παράδειγμα.1.
    Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης

        \[f(x) = \sqrt{-x^{2}+6x+7}.\]


    Λύση

    Η συνάρτηση f(x) = \sqrt{-x^{2}+6x+7} ορίζεται όταν:

        \[-x^{2}+6x + 7 \geq 0.\]

    οπότε παίρνουμε:

        \[	 \small{ \begin{tabular}{r l c c c  c c c  c   r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $ }         &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		&        & $ 7$         & 	&	\multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}	}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ -x^{2}+6x + 7$ }   &                   &  $-$  &$\,\,\, 0$	      &  $ +$  & $ 0$     & $ -$	    &	                	\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \end{tabular} } \]

    Συνεπώς -x^{2}+6x + 7 \geq 0\Rightarrow -1\leq x\leq 1. Οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, είναι το A_f=[-1,7].

    Για κάθε x\in [-1, 7], έχουμε

        \begin{align*} &f'(x) = \Big(\sqrt{-x^{2}+6x+7}\Big)' \\\\ &f'(x)= \dfrac{\big(-x^{2}+6x+7\big)'}{2\cdot \sqrt{-x^{2}+6x+7}}\\\\ &f'(x)= \dfrac{-2x +6}{2\cdot \sqrt{-x^{2}+6x+7}}\\\\ &f'(x)= \dfrac{2\cdot(-x +3)}{2\cdot \sqrt{-x^{2}+6x+7}}\\\\ &f'(x)= \dfrac{-x +3}{ \sqrt{-x^{2}+6x+7}}. \end{align*}

    Για x\in [-1,7] βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης.
    f'(x)= 0\Leftrightarrow \dfrac{-x +3}{ \sqrt{-x^{2}+6x+7}} =0 \Leftrightarrow -x+3 =0 \Leftrightarrow x= 3.

    Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [-1,7], θα παρουσιάζει ένα ελάχιστο m και ένα μέγιστο M στο [-1,7].
    Συνεπως οι πιθανές θεσεις ακροτάτων για τη συνάρτηση f είναι:

      Στα x_{1} =-1 και x_{2}=7, δηλαδή στα άκρα του διαστήματος [-1,7].
      Στο x_{3} =3, το σημείο που η παράγωγος f' μηδενίζεται.

    Υπολογίζουμε την τιμη της συνάρτησης f στα παραπάνω σημεία και έχουμε:

        \[f(-1)=0, \quad f(7)= 0, \quad f(3) =4.\]

    Από τις παραπάνω τιμές η μικρότερη είναι το ελάχιστο και η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο δηλαδή:

        \[m = 0 \quad M=4.\]

    Άρα το σύνολο τιμών της συναρτησης f είναι:

        \[f(A) =[0,4].\]

    Παράδειγμα.2.
    Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2-3x+2,$  &$-1 \leq x \leq 1$ \\\\ $x^2+x -2,$  & $1<x\leq 3$ \end{tabular} \right. \]

    Λύση
    Η συνάρτηση

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2-3x+2,$  &$-1 \leq x \leq 1$ \\\\ $x^2+x -2,$  & $1<x\leq 3$ \end{tabular} \right. \]

    έχει πεδίο ορισμού το A_{f}=[-1,3]
    Εξετάζουμε την f ως προς τη συνέχεια:
    Για -1 < x < 1 έχουμε f(x) =x^2-3x+2, συνεχής ως πολυωνυμική δευτέρου βαθμού.
    Για 1 < x < 3 έχουμε f(x) = x^2+x -2, συνεχής ως πολυωνυμική δευτέρου βαθμού.
    Στο x_{1} =-1 ισχύει ότι \displaystyle\lim_{x\to-1^{+} }f(x)= 6 = f(-1) άρα στο x_{1} =-1 συνεχής.
    Στο x_{2} =1 θα πρέπει:

        \[\lim_{x \to 1}f(x) =f(1).\]

    Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια και έχουμε:
    \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} (x^{2}-3x+2) =0
    και
    \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}(x^{2}+x -2)=0

    Από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=0 και επειδη f(1) =0, ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο x_{2}=1 αφου \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=f(1).

    Τέλος η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{3} =3, αφού ισχύει
    \displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x) = 10 = f (3).

    Απο τα παραπάνω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της A_{f} =[1,3]

    Εξετάζουμε την συνάρτηση f ως προς την παράγωγο, έχουμε:

    Για -1< x < 1 τότε f'(x)= 2x-3.
    Για 1 < x < 3 τότε f'(x) 2x+1.
    Για x = 1 θα πρέπει f'(1) = \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.
    έχουμε:

        \begin{align*} f_{-}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \Leftrightarrow \\\\ f_{-}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{x^2+3x+2-0}{x-1} \Leftrightarrow \\\\ f_{-}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{x^2+3x+2}{x-1} \Leftrightarrow \\\\ f_{-}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{(x-1)\cdot(x-2)}{x-1} \Leftrightarrow \\\\ f_{-}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}(x-2) \Leftrightarrow f_{-}'(1) = -1. \end{align*}

    επίσης

        \begin{align*} f_{+}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \Leftrightarrow \\\\ f_{+}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{x^2+x -2-0}{x-1} \Leftrightarrow \\\\ f_{+}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{x^2+x -2}{x-1} \Leftrightarrow \\\\ f_{+}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{(x-1)\cdot(x+2)}{x-1} \Leftrightarrow \\\\ f_{+}'(1) = & \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}(x+2) \Leftrightarrow f_{+}'(1) = 3. \end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=1 οπότε:

        \[f'(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $2x-3,$  &$-1 < x <1$ \\\\ $2x+1,$  & $1<x< 3$ \end{tabular} \right. \]

    Συνεπώς η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα A_{f}=[-1,3] οπότε θα παρουσιάζει μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m,
    στο [-1,3]
    Οι πιθανές θέσεις ακροτάτων είναι:
    Τα άκρα του διαστήματος [-1,3], τα σημεία που η παράγωγος μηδενίζεται και τα σημεία που η παράγωγος δεν ορίζεται, οπότε:
    Βρίσκουμε τις ρίζες της f'(x)
    Για -1<x<1 είναι f(x)=0\Leftrightarrow 2x-3 =0\Leftrightarrow x= \frac{3}{2}>1, απορρίπτεται.
    Για 1<x<3 είναι f(x)= 0\Leftrightarrow 2x+1 =0 \Leftrightarrow x =-\frac{1}{2}<1, απορρίπτεται
    δηλαδή η παράγωγος της f δεν έχει ρίζες.
    Επιπλέον η παράγωγος δεν ορίζεται στο x=1 με f(1)=0
    και f(-1)= 6 και f(3)=10.
    Από τα παραπάνω η μικρότερη τιμή είναι το ελάχιστο m =0 και η μεγαλύτερη τιμή η μέγιστη M = 10.

    Άρα το σύνολο τιμών της f είναι f(A)= [0,10].
    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *