Γ Λυκείου,ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1 σχόλιο
Print Friendly, PDF & Email

Έστω f: A \to \rr, μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής

  • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία.
  • Βρίσκουμε τα διαστήματα \Delta_{1},\Delta_{2},\cdots του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.

  • Βρίσκουμε τα διαστήματα f(\Delta_{1}),f(\Delta_{2}),\cdots με τον παρακάτω τρόπο
    • \Delta=\left[\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε
      f(\Delta)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]
    • \Delta=\left[\alpha,\beta\right] με fΓνησίως φθίνουσα τότε
      f(\Delta)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]
    • \Delta=\left(\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]
    • \Delta=\left(\alpha,\beta\right]με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(\Delta)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}
    • \Delta=[\alpha,\beta) με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
    • \Delta=[\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(\Delta)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]
    • \Delta=(\alpha,\beta)με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
    • \Delta=(\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσατότε f(\Delta)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))
  • Το σύνολο τιμών της f είναι η ένωση των παραπάνω διάστηματων, δηλαδη f(\Alpha)=f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2})\cup \cdots

Παράδειγμα.1.

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συναρτησης f(x) = \sqrt{1-x}- \ln x.

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = \sqrt{1-x}-\ln x ορίζεται όταν

    \[ \left\{ \begin{tabular}{ll} $1-x \geq 0$ \\ και \\ $x >0$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{tabular}{ll} $ x \leq 1$ \\ και \\ $x >0$ \end{tabular} \right. \]

οπότε, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι

    \[Α_{f} = (0,1].\]

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Α_{f} = (0,1], ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη στο (0,1) με παράγωγο

    \[f'(x) =-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{x}=-\Big(\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}+\dfrac{1}{x}\Big)<0.\]

Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησιώς φθίνουσα στο διάστημα A_{f} = (0,1], οπότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι

    \[f(A) = \big[f(1),\lim_{x\to 0^{+}}f(x)\big).\]

Έχουμε ότι f(1)=0 και

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\Big (\sqrt{1-x}- \ln x\Big)= +\infty.\]

Τελικά το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι

    \[f(A) = [0, +\infty).\]

Παράδειγμα.2.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης

    \[f(x) = x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9.\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9, έχει πεδίο ορισμού το A_{f} = \rr, στο οποίο είναι συνεχής.
Επίσης η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο \rr, με

    \[f'(x)= 4x^{3} -24x^{2} +44x-24.\]

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου

    \begin{align*} f'(x) = & 0 \Leftrightarrow \\ 4x^{3} -24x^{2} +44x-24 = & 0\Leftrightarrow \\ 4( x^{3} -6x^{2}+11x -6) =& 0 \Leftrightarrow \\ x^{3} -6x^{2}+11x -6 =& 0 \Leftrightarrow \\ (x-1)\cdot ( x^{2}-5x+6) =& 0 \Leftrightarrow \\ (x-1) \cdot (x-3) \cdot ( x-2) =& 0 \Leftrightarrow \\ x=1 \quad \text { ή} \quad x = 3 \quad\text { ή} \quad x =2. \end{align*}

Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης f με

    \[f'(x)=4\cdot(x-1) \cdot (x-3) \cdot ( x-2)\]

και της μονοτονίας της συνάρτησης f.

    \[ \small{ \begin{tabular}{r l c c c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $1$ & & $ 2$ & &$3$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}} } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -1$ } & & $-$ &$ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ +$ & $|$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -3$ } & & $-$ & $|$ & $ -$ & $ | $ & $ -$ & $0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -2$ } & & $-$ & $|$ & $ -$ & $ 0 $ & $ +$ & $|$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ } & & $-$ & $0$ & $ +$ & $ 0 $ & $ -$ & $0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ } & & $ \searrowtail$ & $ | $ & $\nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & $|$ & $\nearrowtail$ & \multicolumn{1}{r|}{}\\ \hline & & & T.Ε. & & T.Μ. & & T.Ε. & & \\ & & & $ f(1)$ & & $ f(2)$ & & $ f(3)$ & & \end{tabular} } \]

Επομένως έχουμε:

  • Στο διάστημα \Delta_{1}=(-\infty, 1] η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{1})=\Big[ f(1), \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)\Big)=[0,+\infty).\]

  • Στο διάστημα \Delta_{2}=[1, 2] η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{2})=\Big[ f(1), f(2)\Big]=[0,1].\]

  • Στο διάστημα \Delta_{3}=[2,3] η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{3})=\Big[ f(3), f(2)\Big]=[0,1].\]

  • Στο διάστημα \Delta_{4}=[3, +\infty) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{4})=\Big[ f(3), \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)\Big)=[0,+\infty).\]

Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι:

    \[f(A)=f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2}) \cup f(\Delta_{3}) \cup f(\Delta_{4})=[0,+\infty).\]

Παράδειγμα.3.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

    \[f(x) = \dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}.\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = \dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}, ορίζεται όταν x\neq 1,
οπότε έχει πεδίο ορισμού το A_{f}=\rr-\{-1\}.
Συνεπώς για κάθε x\neq -1 έχουμε:

    \begin{align*} &f'(x) = \Big(\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}\Big)'\Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{\big(x^{2}-x+1\big)'\cdot(x-1)-(x^{2}-x+1)\cdot(x-1)'}{(x-1)^{2}} \Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{(2x -1)\cdot(x-1)-(x^{2}-x+1)}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{2x^{2}-2x-x+1-x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^{2}}. \end{align*}

Για x\neq 1 βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου και έχουμε:
f'(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^{2}} =0 \Leftrightarrow x\cdot(x-2)=0 \Leftrightarrow x =0, \, x=2.

Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της f' και μονοτονιας ακροτάτων της συνάρτησης f.

    \[ \tiny{ \begin{tabular}{r l c c c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $0$ & & $ 1$ & &$2$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}} } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$(x -1)^{2}$ } & & $+$ &$ |$ & $ +$ & $ 0$ & $ +$ & $|$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x\cdot(x -2)$ } & & $+$ & $0$ & $ -$ & $ | $ & $ -$ & $0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ } & & $+$ & $0$ & $ -$ & $ || $ & $ -$ & $0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ } & & $\nearrowtail$ & $ | $ & $ \searrowtail$ & $ ||$ & $\searrowtail$ & $|$ & $ \nearrowtail$& \multicolumn{1}{r|}{}\\ \hline & & & T.Μ. & & & & T.E. & & \\ & & & $ f(0)$ & & $ & & $ f(2)$ & & \end{tabular} } \]

Επομένως έχουμε:

  • Στο \Delta_{1}=(-\infty,0] η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{1}) = \big( \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x) , f(0)\big]=(-\infty, -1].\]

  • Στο \Delta_{2}=[0,1) η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{2}) = \big( \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x) , f(0)\big]=(-\infty, -1].\]

  • Στο \Delta_{3}=(1,2] η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{3}) = \big[ f(2),\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x) \big)=[3,+\infty).\]

  • Στο \Delta_{4}=[2, +\infty) η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{4}) = \big[ f(2),\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) \big)=[3,+\infty).\]

    • Τέλος το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι:

    f(A) = f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2}) \cup f(\Delta_{3})\cup f(\Delta_{4}) = (-\infty, -1] \cup [3,+\infty).

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

    Μία απάντηση στο “ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *