Έστω μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης
εργαζόμαστε ως εξής
- Μελετάμε την
ως προς τη μονοτονία.
- Βρίσκουμε τα διαστήματα
του πεδίου ορισμού της συνάρτησης
σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.
- Βρίσκουμε τα διαστήματα
με τον παρακάτω τρόπο
με
Γνησίως αύξουσα τότε
με
Γνησίως φθίνουσα τότε
με
Γνησίως αύξουσα τότε
με
Γνησίως φθίνουσα τότε
με
Γνησίως αύξουσα τότε
με
Γνησίως φθίνουσα τότε
με
Γνησίως αύξουσα τότε
με
Γνησίως φθίνουσατότε
- Το σύνολο τιμών της
είναι η ένωση των παραπάνω διάστηματων, δηλαδη
Παράδειγμα.1.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συναρτησης
Λύση
Η συνάρτηση ορίζεται όταν
οπότε, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο
ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη στο
με παράγωγο
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησιώς φθίνουσα στο διάστημα
οπότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης
είναι
Έχουμε ότι και
Τελικά το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι
Παράδειγμα.2.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης
Λύση
Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το
στο οποίο είναι συνεχής.
Επίσης η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με
Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου
Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης με
και της μονοτονίας της συνάρτησης
Επομένως έχουμε:
- Στο διάστημα
η συνάρτηση
είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής
είναι:
- Στο διάστημα
η συνάρτηση
είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής
είναι:
- Στο διάστημα
η συνάρτηση
είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής
είναι:
- Στο διάστημα
η συνάρτηση
είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής
είναι:
Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι:
Παράδειγμα.3.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:
Λύση
Η συνάρτηση ορίζεται όταν
οπότε έχει πεδίο ορισμού το
Συνεπώς για κάθε έχουμε:
Για βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου και έχουμε:
Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της και μονοτονιας ακροτάτων της συνάρτησης
Επομένως έχουμε:
![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta_{1}=(-\infty,0]](http://diakopoulos.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f88564ea8478229c21e72533555b6ea4_l3.png)





![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta_{3}=(1,2]](http://diakopoulos.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d90c20a745fa3726da03388204c5f16e_l3.png)





Τέλος το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι:
Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .








να διορθωσουμε τα ορια