ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω f: A \to \rr, μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής

  • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία.
  • Βρίσκουμε τα διαστήματα \Delta_{1},\Delta_{2},\cdots του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.

  • Βρίσκουμε τα διαστήματα f(\Delta_{1}),f(\Delta_{2}),\cdots με τον παρακάτω τρόπο
    • \Delta=\left[\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε
      f(\Delta)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]
    • \Delta=\left[\alpha,\beta\right] με fΓνησίως φθίνουσα τότε
      f(\Delta)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]
    • \Delta=\left(\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]
    • \Delta=\left(\alpha,\beta\right]με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(\Delta)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}
    • \Delta=[\alpha,\beta) με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
    • \Delta=[\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(\Delta)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]
    • \Delta=(\alpha,\beta)με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
    • \Delta=(\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσατότε f(\Delta)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))
  • Το σύνολο τιμών της f είναι η ένωση των παραπάνω διάστηματων, δηλαδη f(\Alpha)=f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2})\cup \cdots

Παράδειγμα.1.

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συναρτησης f(x) = \sqrt{1-x}- \ln x.

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = \sqrt{1-x}-\ln x ορίζεται όταν

    \[ \left\{ \begin{tabular}{ll} $1-x \geq 0$ \\ και \\ $x >0$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow  \left\{ \begin{tabular}{ll} $ x \leq 1$ \\ και \\ $x >0$ \end{tabular} \right.  \]

οπότε, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι

    \[Α_{f} = (0,1].\]

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Α_{f} = (0,1], ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη στο (0,1) με παράγωγο

    \[f'(x) =-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{x}=-\Big(\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}+\dfrac{1}{x}\Big)<0.\]

Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησιώς φθίνουσα στο διάστημα A_{f} = (0,1], οπότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι

    \[f(A) = \big[f(1),\lim_{x\to 0^{+}}f(x)\big).\]

Έχουμε ότι f(1)=0 και

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\Big (\sqrt{1-x}- \ln x\Big)= +\infty.\]

Τελικά το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι

    \[f(A) = [0, +\infty).\]

Παράδειγμα.2.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης

    \[f(x) = x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9.\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9, έχει πεδίο ορισμού το A_{f} = \rr, στο οποίο είναι συνεχής.
Επίσης η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο \rr, με

    \[f'(x)= 4x^{3} -24x^{2} +44x-24.\]

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου

    \begin{align*} f'(x) = & 0 \Leftrightarrow \\ 4x^{3} -24x^{2} +44x-24  = & 0\Leftrightarrow \\ 4( x^{3} -6x^{2}+11x -6) =& 0 \Leftrightarrow \\  x^{3} -6x^{2}+11x -6  =& 0 \Leftrightarrow \\ (x-1)\cdot ( x^{2}-5x+6)  =& 0 \Leftrightarrow \\ (x-1) \cdot (x-3) \cdot ( x-2)  =& 0 \Leftrightarrow \\ x=1 \quad  \text { ή} \quad  x = 3   \quad\text { ή} \quad  x =2. \end{align*}

Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης f με

    \[f'(x)=4\cdot(x-1) \cdot (x-3) \cdot ( x-2)\]

και της μονοτονίας της συνάρτησης f.

    \[	 \small{ \begin{tabular}{r l c c c  c c c  c   r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $ }         &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $1$ 		&        & $ 2$     &  &$3$      &  & 		\multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}	}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -1$ }   &                   &  $-$  &$ 0$	      &  $ +$  & $ |$     & $ +$	    &	       $|$            &	$+$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -3$ }   &                   &  $-$  &	 $|$     &  $ -$  &  $ | $   & $ -$	    &	       $0$            &	$ +$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -2$ }   &                   &  $-$  &	 $|$     &  $ -$  &  $ 0 $   & $ +$	    &	       $|$            &	$ +$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ }   &                   &  $-$  &	 $0$     &  $ +$  &  $ 0 $   & $ -$	    &	       $0$            &	$ +$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ }   &                   &  $ \searrowtail$   &	   $ | $     &  $\nearrowtail$ & $ |$     & $ \searrowtail$	    &	          $|$        & 	$\nearrowtail$	&  \multicolumn{1}{r|}{}\\ \hline    &                   &     &	  T.Ε.     &   &  T.Μ.     &     &	          T.Ε.       & 	&  \\  &                   &     &	  $ f(1)$    &   &  $ f(2)$     &     &	         $ f(3)$       & 	&  \end{tabular} } \]

Επομένως έχουμε:

  • Στο διάστημα \Delta_{1}=(-\infty, 1] η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{1})=\Big[ f(1), \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)\Big)=[0,+\infty).\]

  • Στο διάστημα \Delta_{2}=[1, 2] η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{2})=\Big[ f(1), f(2)\Big]=[0,1].\]

  • Στο διάστημα \Delta_{3}=[2,3] η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{3})=\Big[ f(3), f(2)\Big]=[0,1].\]

  • Στο διάστημα \Delta_{4}=[3, +\infty) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{4})=\Big[ f(3), \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)\Big)=[0,+\infty).\]

Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι:

    \[f(A)=f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2}) \cup  f(\Delta_{3}) \cup f(\Delta_{4})=[0,+\infty).\]

Παράδειγμα.3.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

    \[f(x) = \dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}.\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = \dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}, ορίζεται όταν x\neq 1,
οπότε έχει πεδίο ορισμού το A_{f}=\rr-\{-1\}.
Συνεπώς για κάθε x\neq -1 έχουμε:

    \begin{align*} &f'(x) =  \Big(\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}\Big)'\Leftrightarrow \\\\ &   f'(x) =     \dfrac{\big(x^{2}-x+1\big)'\cdot(x-1)-(x^{2}-x+1)\cdot(x-1)'}{(x-1)^{2}} \Leftrightarrow \\\\ &  f'(x) =      \dfrac{(2x -1)\cdot(x-1)-(x^{2}-x+1)}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\  & f'(x) =      \dfrac{2x^{2}-2x-x+1-x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\ &  f'(x) =     \dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\ &  f'(x) =     \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^{2}}. \end{align*}

Για x\neq 1 βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου και έχουμε:
f'(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^{2}} =0 \Leftrightarrow x\cdot(x-2)=0 \Leftrightarrow x =0, \, x=2.

Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της f' και μονοτονιας ακροτάτων της συνάρτησης f.

    \[	 \tiny{ \begin{tabular}{r l c c c  c c c  c   r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $ }         &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $0$ 		&        & $ 1$     &  &$2$      &  & 		\multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}	}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$(x -1)^{2}$ }   &                   &  $+$  &$ |$	      &  $ +$  & $ 0$     & $ +$	    &	       $|$            &	$+$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x\cdot(x -2)$ }   &                   &  $+$  &	 $0$     &  $ -$  &  $ | $   & $ -$	    &	       $0$            &	$ +$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ }   &                   &  $+$  &	 $0$     &  $ -$  &  $ || $   & $ -$	    &	       $0$            &	$ +$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ }   &                   &  $\nearrowtail$   &	   $ | $     &  $ \searrowtail$ & $ ||$     & $\searrowtail$    &	          $|$        & 	$ \nearrowtail$&  \multicolumn{1}{r|}{}\\ \hline    &                   &     &	   T.Μ.      &   &     &     &	         T.E.       & 	&  \\  &                   &     &	  $ f(0)$    &   &  $     &     &	         $ f(2)$       & 	&  \end{tabular} } \]

Επομένως έχουμε:

  • Στο \Delta_{1}=(-\infty,0] η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{1}) = \big( \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x) , f(0)\big]=(-\infty, -1].\]

  • Στο \Delta_{2}=[0,1) η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{2}) = \big( \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x) , f(0)\big]=(-\infty, -1].\]

  • Στο \Delta_{3}=(1,2] η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{3}) = \big[ f(2),\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x) \big)=[3,+\infty).\]

  • Στο \Delta_{4}=[2, +\infty) η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{4}) = \big[ f(2),\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) \big)=[3,+\infty).\]

  • Τέλος το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι:

    f(A) = f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2}) \cup f(\Delta_{3})\cup  f(\Delta_{4}) = (-\infty, -1] \cup [3,+\infty).

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    One thought on “ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *