ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

Print Friendly, PDF & Email

Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής

    \[f(x)\leq g(x) \quad \text{ή} \quad f(x)\geq g(x)\]

για κάθε x\in\Delta και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα τότε εργαζόμαστε ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ανισότητας στο πρώτο μέλος.
  • Θεωρούμε τη συνάρτηση

        \[h(x)=f(x)-g(x) \quad \text{με} \quad x\in\Delta\]

    και βρίσκουμε εσωτερικό σημείο x_0 του \Delta με h(x_0)=0.

  • Για κάθε x\in\Delta ισχύει ότι

        \[h(x)\leq h(x_0) \quad \text{ή} \quad h(x)\geq h(x_0)\]

    Δηλαδή η h έχει ολικό μέγιστο ή ολικό ελάχιστο στο x_0.

  • Σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει ότι, από όπου καταλήγουμε στη ζητούμενη ισότητα.

Σε ασκήσεις που μας ζητούν να προσδιορίσουμε την τιμή μιας παραμέτρου και την προσδιορίζουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Fermat, θα πρέπει στο τέλος να κάνουμε επαλήθευση.

Παράδειγμα.1.
Για τον πραγματικό αριθμό \alpha ισχύει ότι

    \[x^2+x\geq2+\alpha lnx \quad \text{για κάθε} \quad x>0\]

Να αποδείξετε ότι \alpha=3.

Λύση
Για κάθε x>0 ισχύει ότι:

    \[x^2+x-2-\alpha lnx\geq0\]

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

    \[f(x)=x^2+x-2-\alpha lnx \quad \text{με} \quad A_{f}=(0,+\infty)\]

Παρατηρούμε ότι f(1)=0. Έτσι για κάθε x>0 ισχύει ότι:

    \[f(x)\geq f(1)\]

Δηλαδή η f παρουσιάζει στο 1 ολικό ελάχιστο. Επίσης η f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=1 και το x_{0}=1 είναι εσωτερικό σημείο του A_{f}=(0,+\infty) Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει:

    \[f'(1)=0\]

όμως για κάθε x>0 είναι:

    \[f'(x)=2x+1-\frac{\alpha}{x}\]

Άρα έχουμε:

    \begin{align*} 										&f'(1)=0 \Leftrightarrow\\ 										&2+1-\alpha=0 \Leftrightarrow\\ 										&\alpha=3 										\end{align*}

Τώρα πρέπει να κάνουμε επαλήθευση ότι η τιμή για \alpha=3 είναι δεκτή, αφού δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Fermat
Για \alpha=3 είναι

    \[f(x)=x^2+x-2-3lnx\]

Για κάθε x>0 ισχύει ότι:

    \begin{align*} 										f'(x)&=2x+1-\frac{3}{x}\Leftrightarrow\\ 										f'(x)&=\frac{2x^2+x-3}{x} 										\end{align*}

Έχουμε:

    \begin{align*} 										&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 										&\frac{2x^2+x-3}{x}=0 \Leftrightarrow\\ 										&x=-\frac{3}{2} \quad \text{ή} \quad x=1 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[	 \begin{tabular}{r l c c c  c c c  c   r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $ }         &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-\frac{3}{2}$ 		&        & $ 0$     &  &$1$      &  & 		\multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}	}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$2x^2+x-3$ }   &                   &  $+$  &$ 0$	      &  $ -$  & $ |$     & $ -$	    &	       $0$            &	$+$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x$ }   &                   &  $-$  &	 $|$     &  $ -$  &  $ 0 $   & $ +$	    &	       $|$            &	$+$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ }   &                   &   $ $    &	        &  $ $  & $ ||$     & $ -$	    &	          $0$            &	$+$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ }   &                   &     &	        &  $ $  & $ ||$     & $ \searrowtail$	    &	          $|$        & 	$\nearrowtail$	&  \multicolumn{1}{r|}{}\\ \hline  \end{tabular} \]

Η f παρουσιάζει στο x_{0}=1 ολικό ελάχιστο το f(1)=0.
Δηλαδή για κάθε x>0 ισχύει:

    \begin{align*} 										&f(x)\geq f(1) \Leftrightarrow\\ 										&x^2+x-2-\alpha lnx\geq0 										\end{align*}

Άρα η τιμή \alpha=3 είναι δεκτή.

Παράδειγμα.2.
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και για κάθε x\in \rr, ισχύει

    \[xf(x) +1\leq e^{x}+\hm 2x.\]

Να δείξετε ότι f(0) =3.

Λύση

Θεωρούμε συνάρτηση g(x)= xf(x)+1-e^{x}-\hm 2x, \, x\in \rr
με g(0) =0.

Οπότε απο υπόθεση, για κάθε x\in \rr, έχουμε ότι

    \[g(x) \leq 0 \Leftrightarrow g(x) \leq g(0) \quad (1.)\]

Επίσης για την συνάρτηση g ισχύουν

η g είναι συνεχής στο \rr ως πράξεις συνεχών, αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr άρα και συνεχής.
Επίσης η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο \rr, με

    \begin{align*}  g'(x) = & (xf(x)+1-e^{x}-\hm 2x)'\Rightarrow \\ g'(x) = & f(x) +xf'(x)-e^{x} - 2\syn 2x. \end{align*}

Και από την σχέση (1.) η συνάρτηση g παρουσιάζει στο x_{0}=0 ολικό μέγιστο.

δηλαδή για την συνάρτηση g ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat οπότε θα ισχύει

    \[g'(0) =0.\]

Συνεπώς για x_{0} = 0

    \begin{align*}  g'(0) = & f(0) +0\cdot f'(0)-e^{0} - 2\syn 2\cdot 0\Rightarrow \\ 0 = &  f(0) -1 -2 \Rightarrow f(0) = 3. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα. Στεργίου – Νάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *