ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, μια συνάρτηση f που είναι συνεχής στο κλειστό [\alpha,\beta] παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο [\alpha,\beta]. Δηλαδή υπάρχουν με f(x_1)=\mu και f(x_2)=M,
ώστε \mu\leq f(x)\leq M για κάθε x\in[\alpha,\beta].

    Αν εξασφαλίσουμε ότι τα x_1,x_2 δεν είναι άκρα \alpha,\beta του [\alpha,\beta], δηλαδή αν τα και επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη στα x_1,x_2. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα Fermat θα ισχύει f'(x_1)=0 και f'(x_2)=0.

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:[2,5]\rightarrow\rr, δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει

    \[f(3)<f(2)<f(5)<f(4)\]

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(2,5) τέτοιο ώστε f''(\xi)=0.
Λύση
Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [2,5]. Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η f παίρνει στο [2,5] μία μέγιστη τιμή M και μία ελάχιστη τιμή \mu. Δηλαδή υπάρχουν x_1,x_2\in(2,5) με

    \[f(x_1)=\mu \quad \text{και} \quad f(x_2)=M\]

ώστε να ισχύει:

    \[\mu\leq f(x)\leq M\]

για κάθε x\in[2,5]
‘Ομως η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή δεν είναι στις θέσεις 2 και 5 αφού από τη σχέση

    \[f(3)<f(2)<f(5)<f(4)\]

προκύπτει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον τιμή μικρότερη από τις f(2) και f(5). Επομένως ισχύει ότι x_1,x_2\in(2,5). Άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι:

    \[f'(x_1)=0 \quad \text{και} \quad f'(x_2)=0\]

Τέλος αν υποθέσουμε ότι x_1<x_2 τότε ισχύουν τα εξής:
Η f' είναι συνεχής στο [x_1,x_2].
Η f' είναι παραγωγίσιμη στο (x_1,x_2) αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [2,5].

    \[f'(x_1)=f'(x_2)=0\]

Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον

    \[\xi\in(2,5)\]

τέτοιο ώστε f''(\xi)=0.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *