ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f,g:A\rightarrow\rr.
Αν η f έχει ολικό ελάχιστο το \mu
και η g έχει ολικό μέγιστο το M
και ισχύει \mu\geq M,
τότε ισχύει ότι f(x)\geq g(x) για κάθε x\in A.

Παράδειγμα.1.
Δίνονται οι συναρτήσεις

    \[f(x)=2\sigma\upsilon\nu x +x^2 \quad \text{και} \quad g(x)=\frac{2ex}{e^x}\]

i..) Να μελετήσετε τις συναρτήσεις f και g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii..) Να αποδείξετε ότι

    \[2exe^{-x}-2 \sigma\upsilon\nu x \leq x^2\]

για κάθε x\in\rr.
Λύση
Η συνάρτηση

    \[f(x)=2\sigma\upsilon\nu x +x^2\]

έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f'(x)=-2\eta\mu x+2x=2(x-\eta\mu x)\]

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου της συναρτησης και έχουμε:

    \begin{align*} 										&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 										&x-\eta\mu x=0 \Leftrightarrow\\ 										&\eta\mu x=x \Leftrightarrow x=0 										\end{align*}

Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τη ιδιότητα |\hm x| \leq |x|.

    \begin{align*} 										&f'(x)>0 \Leftrightarrow\\ 										&x-\eta\mu x>0 \Leftrightarrow\\ 										&\eta\mu x>x \Leftrightarrow x>0 										\end{align*}

επίσης

    \begin{align*} 										&f'(x)<0 \Leftrightarrow\\ 										&x-\eta\mu x<0 \Leftrightarrow\\ 										&\eta\mu x<x \Leftrightarrow x<0 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[ \begin{tabular}{r l c c c  r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $  }        &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $0$ 		           &    & \multicolumn{1}{r|}{{\quad\tiny{$ +\infty$}} }	   						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$  f'$	}	 &                   &   $ -$	 & $ 0$		     & $ +$    &   \multicolumn{1}{r|}{}   								\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$  f$	}	 &                   &   $ \searrowtail$	 & $ |$		     & $ \nearrowtail$          &		\multicolumn{1}{r|}{} 						\\ \hline  &                   &   	 & O.E.		     &           &		\\ &                   &   	 & $f(0)=2$		     &           &	 \end{tabular}\\ \]

Παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,0] και γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty), ενώ παρουσιάζει στο 0 ολικό ελάχιστο το f(0)=2.

Η συνάρτηση

    \[g(x)=\frac{2e\cdot x}{e^x}\]

έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι:

    \begin{align*} 										&g'(x)=\Big(\frac{2e\cdot x}{e^x}\Big)'\\\\ 										&g'(x)=\frac{2e\cdot e^x-2e\cdot x\cdot e^x}{e^{2x}}\\\\ 										&g'(x)=\frac{2e\cdot e^x(1-x)}{e^{2x}}\\\\ 										&g'(x)=\frac{2e(1-x)}{e^x} 										\end{align*}

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης.
Έχουμε:

    \begin{align*} 						g'(x)&=0 \Leftrightarrow \frac{2e(1-x)}{e^x}=0\Leftrightarrow\\ 						      &1-x=0 \Leftrightarrow x=1.				 										\end{align*}

Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης

    \begin{align*} 										g'(x)>0 &\Leftrightarrow \frac{2e(1-x)}{e^x}>0  \Leftrightarrow\\ 						&1-x>0 \Leftrightarrow x<1 										\end{align*}

Επίσης

    \begin{align*} 										g'(x)<0& \Leftrightarrow\frac{2e(1-x)}{e^x}<0  \Leftrightarrow\\ 										&1-x<0 \Leftrightarrow x>1 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[ \begin{tabular}{r l c c c  r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $  }        &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $1$ 		           &  &\multicolumn{1}{r|}{  {\quad\tiny{$ +\infty$}} 		}			\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$  g'$	}	 &                   &   $ +$	 & $ 0$		     & $ -$          &					\multicolumn{1}{r|}{}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$  g$	}	 &                   &   $ \nearrowtail$	 & $ |$		     & $ \searrowtail$          &				\multicolumn{1}{r|}{}					\\ \hline  &                   &    & O.M.	     &           &	\\ &                   &    & $g(1)=2$     &           &					 \end{tabular}\\ \]

Παρατηρούμε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,+\infty) και γνησίως αύξουσα στο (-\infty,1], ενώ παρουσιάζει στο 0 ολικό μέγιστο το g(1)=2.
ii..) Η f έχει ολικό ελάχιστο το 2, άρα για κάθε x\in\rr ισχύει:

    \[f(x)\geq2 \quad (1)\]

Η g έχει ολικό ελάχιστο το 2, άρα για κάθε x\in\rr ισχύει:

    \[g(x)\leq2 \quad (2)\]

Απο τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

    \begin{align*} 										&f(x)\geq g(x) \Leftrightarrow\\ 										&2\sigma\upsilon\nu x+x^2\geq \frac{2ex}{e^x}  \Leftrightarrow\\ 										& 2\sigma\upsilon\nu x+x^2\geq2exe^{-x}  \Leftrightarrow\\ 										&2exe^{-x}-2 \sigma\upsilon\nu x \leq x^2 										\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *