Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση
i.) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
είναι γνησίως αύξουσα.
Λύση
i.) Η συνάρτηση
έχει πεδίο ορισμού το
Για κάθε είναι:
Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου συνάρτησης.
Έχουμε:
Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου.
επίσης
Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της και τη μονοτονία της :
Παρατηρούμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο , ενώ παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο το
ii.) Η συνάρτηση
έχει πεδίο ορισμού το
Για κάθε είναι:
Όμως η έχει ολικό ελάχιστο το για κάθε και ισχύει ότι:
Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα.
Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .