ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής

    \[A(x)\geq B(x) \quad \text{ή} \quad A(x)\leq B(x)\]

μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f(x), οπότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή

        \[f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0\]

  • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ολικό μέγιστο το 0, οπότε αντίστοιχα θα ισχύει:

        \[f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0\]

Παράδειγμα.1.
Να αποδείξετε ότι

    \[x^2\geq1+2lnx\]

για κάθε x>0.
Λύση
Για κάθε x>0 έχουμε:

    \begin{align*} 										&x^2\geq1+2lnx \Leftrightarrow\\ 										&x^2-1-2lnx\geq0 										\end{align*}

Θεωρούμε τη συνάρτηση

    \[f(x)=x^2-1-2lnx, \quad \text{με} \quad x>0\]

Για κάθε x>0 έχουμε:

    \begin{align*} 										&f'(x)=\Big(x^2-1-2lnx\Big)'\Leftrightarrow\\ 										&f'(x)=2x-\frac{2}{x}\Leftrightarrow\\ 										&f'(x)=\frac{2x^2-2}{x}\Leftrightarrow\\ 										&f'(x)=\frac{2(x^2-1)}{x}. 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[	 \begin{tabular}{r l c c c  c c c  c   r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $  }        &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		&        & $ 0$     &  &$1$      &  & 	\multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}		}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x^2-1$		} &                   &   $ +$	 & $ 0$		&  $ -$  & $ |$     & $ -$          & $0$ &	$+$  & 		\multicolumn{1}{r|}{}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x $	}	 &	             & $ -$	 &$ |$	        &  $ -$  &$ 0$     & $ +$	    &	$|$ & $+$   & 				\multicolumn{1}{r|}{}				\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$   } &   \cellcolor{gray!25}                 &  \cellcolor{gray!25}   &	 \cellcolor{gray!25}        &  \cellcolor{gray!25}  &  \cellcolor{gray!25}$ ||$     & $ -$	    &	          $0$            &	$+$ 	&		\multicolumn{1}{r|}{}		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$   } &   \cellcolor{gray!25}                 &   \cellcolor{gray!25}    &  \cellcolor{gray!25}   &   \cellcolor{gray!25} &  \cellcolor{gray!25}{$ ||$}     & $ \searrowtail$	    &	          $|$        & 	$\nearrowtail$	& \multicolumn{1}{r|}{}	 \\ \hline   &                   &     &        &   &     &     &	       O.E.           & 	& \\  &                   &     &        &   &     &     &	      $ f(1) =0$           & 	&  \end{tabular} \]

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}=1 ολικό ελάχιστο το f(1)=0. Δηλαδή για κάθε x>0 ισχύει ότι:

    \begin{align*}                                                                                 &f(x)\geq min f \Leftrightarrow\\    										&f(x)\geq f(0) \Leftrightarrow\\                                                                                 &f(x)\geq 0 \Leftrightarrow\\ 										&x^2-1-2lnx\geq 0 \Leftrightarrow\\ 										&x^2\geq 1+2lnx. 										\end{align*}

Παράδειγμα.2.
Να αποδείξετε ότι

    \[e^x-1\geq ln(x+1)\]

για κάθε x>-1.

Λύση
Για κάθε x>-1 έχουμε:

    \begin{align*} 										&e^x-1\geq ln(x+1) \Leftrightarrow\\ 										&e^x-1- ln(x+1)\geq0 										\end{align*}

Θεωρούμε τη συνάρτηση

    \[f(x)=e^x-1- ln(x+1), \quad \text{με} \quad x>-1\]

Για κάθε x>-1 έχουμε:

    \[f'(x)=e^x-\frac{1}{x+1}\]

και

    \[f''(x)=e^x+\frac{1}{(x+1)^2}>0\]

Άρα η f' είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x>-1.
Παρατηρούμε ότι f'(0)=0, οπότε έχουμε:

    \begin{align*} 										&x>0 \stackrel{ f' \uparrowtail}{\Leftrightarrow}\\ 										&f'(x)>f'(0) \Leftrightarrow\\ 										&f'(x)>0 										\end{align*}

    \begin{align*} 										&-1<x<0 \stackrel{ f' \uparrowtail}{\Leftrightarrow}\\ 										&f'(x)<f'(0) \Leftrightarrow\\ 										&f'(x)<0 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f'' και τη μονοτονία της f' και της f:

    \[										 \begin{tabular}{r l c c c  c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $ }         &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		&        & $ 0$     &               & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}}   						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f'' $ }  &   \cellcolor{gray!25}                 &   \cellcolor{gray!25}    & \cellcolor{gray!25}{$ ||$}	        &  $ +$  & $ |$     & $ +$	    &	\multicolumn{1}{r|}{}                      						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f' $  }  &  \cellcolor{gray!25}                  &  \cellcolor{gray!25}      & \cellcolor{gray!25}{$ ||$}	        &  $ -$  & $ 0$     & $ +$	    &\multicolumn{1}{r|}{}                      						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{ $f $ }   &  \cellcolor{gray!25}                  & \cellcolor{gray!25}       & \cellcolor{gray!25}{$ ||$}	        &  $ \searrowtail$  & $ |$     & $ \nearrowtail$	    &\multicolumn{1}{r|}{}  \\ \hline   &                   &        &         &    & O.E.   &     & \\   &                   &        &         &    & $f(0)=0$   &     & \end{tabular}\]

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}=0 ολικό ελάχιστο το f(0)=0, Δηλαδή για κάθε x>0 ισχύει ότι:

    \begin{align*} &f(x)\geq min f \Leftrightarrow\\ 										&f(x)\geq f(0) \Leftrightarrow\\ &f(x)\geq 0 \Leftrightarrow\\ 										&e^x-1-ln(x+1)\geq 0 \Leftrightarrow\\ 										&e^x\geq1+ln(x+1) 										\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *