ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)>0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.
Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό μέγιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)<0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.

Παράδειγμα.
Να λύσετε την εξίσωση

    \[ln(x+1)=x\]

Λύση
Η εξίσωση για x>-1 γίνεται:

    \begin{align*} 										&ln(x+1)=x \Leftrightarrow\\ 										&ln(x+1)-x=0 										\end{align*}

Θεωρούμε τη συνάρτηση

    \[f(x)=ln(x+1)-x \quad \text{με} \quad x>-1\]

Για κάθε x>1 έχουμε:

    \begin{align*} 										f'(x)&=\frac{1}{x+1}-1\Leftrightarrow\\\\ 										  f'(x)    &=\frac{1-x-1}{x+1}\Leftrightarrow\\\\ 										 f'(x)     &=\frac{-x}{x+1} 										\end{align*}

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου, της συνάρτησης

    \[f'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{-x}{x+1}=0 \Leftrightarrow x=0\]

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[										 \begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		&        & $ 0$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $ -x$            &                   & $ +$      &     $|$                 & $ +$   &   $ 0$       &  $ -$         &  \\ \hline $ x+1$            &                   & $ -$      &     $ 0$               & $ +$   &      $ |$    &  $ +$         &  \\ \hline $ f' $    &                   &      &$ ||$	        &  $ +$  & $ 0$     & $ -$	    &	                      						\\ \hline  $f $    &                   &   $ $    &$ ||$	        &  $ \nearrowtail$  & $ |$     & $ \searrowtail$	    & \\ \hline \end{tabular}							 \]

Παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-1,0] και γνησίως φθίνουσα στο [0,+\infty) ενώ στο x_{0}=0, παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(0)=0. Δηλαδή maxf =0.
Τελικά

    \begin{align*} &f(x)\leq max f \Rightarrow\\ &f(x)\leq f(0) \Rightarrow\\ &f(x)\leq 0 \end{align*}

οπότε για x \neq 0 και x>-1
έχουμε ότι

    \[f(x) < 0.\]

Άρα η συνάρτηση έχει μοναδική λύση τη x_{0}=0.
Επομένως και η αρχική εξίσωση έχει μοναδική λύση τη x=0.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *