ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης f περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο x_0, τότε για να βρούμε τις παραμέτρους εργαζόμαστε ως εξής:

  • Διαπιστώνουμε ότι το x_0 είναι εσωτερικό σημείο κάποιου διαστήματος \Delta του A_f και ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0.
  • Σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει ότι f'(x_0)=0.
  • Από την παραπάνω σχέση και ενδεχομένως από άλλα δεδομένα βρίσκουμε τις τιμές των παραμέτρων.
  • Επειδή το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει, πρέπει να εξετάσουμε αν οι τιμές των παραμέτρων που βρήκαμε είναι δεκτές. Για αυτό αντικαθιστούμε τις τιμές των παραμέτρων στον τύπο της f και τη μελετάμε ως προς τα ακρότατα.

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=2x^3-3(\alpha+2)x^2+6(\alpha+1)^2x+\beta, \quad \alpha,\beta\in\rr\]

Να βρείτε για ποιες τιμές των \alpha και \beta η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο το 3.

Λύση

Η συνάρτηση

    \[f(x)=2x^3-3(\alpha+2)x^2+6(\alpha+1)^2x+\beta\]

έχει πεδίο ορισμού το \rr. Η f είναι παραγωγίσιμη στο \rr με:

    \[f'(x)=6x^2-6(\alpha+2)x+6(\alpha+1)^2\]

Η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο, η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 και το 1 είναι εσωτερικό σημείο του \rr. Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat έχουμε:

    \begin{align*} 											&f'(1)=0 \Leftrightarrow\\ 											&6-6(\alpha+2)+6(\alpha+1)^2=0 \Leftrightarrow\\ 										&6-6\alpha-12+6\alpha^2+12\alpha+6=0 \Leftrightarrow\\ 											&6\alpha^2+6\alpha=0 \Leftrightarrow\\ 											&6\alpha(\alpha+1)=0 \Leftrightarrow\\ 											&\alpha=0 \quad \text{ή} \quad \alpha=-1 										\end{align*}

Επίσης ισχύει:

    \begin{align*} 										&f(1)=3 \Leftrightarrow\\ 										&2-3(\alpha+2)+6(\alpha+1)^2+\beta=3 \Leftrightarrow\\ 										&2-3\alpha-6+6\alpha^2+12\alpha+6+\beta=3 \Leftrightarrow\\ 										&6\alpha^2+9\alpha+\beta-1=0 \quad (1) 										\end{align*}

Για \alpha=0 από την (1) έχουμε \beta=1
Για \alpha=-1 από την (1) έχουμε \beta=4
Επομένως βρήκαμε ότι (\alpha=0 και \beta=1) και (\alpha=4 και \beta=7.)
Επειδή το αντίστροφο του θεωρήματος Fermat δεν ισχύει πρέπει να εξετάσουμε αν οι παραπάνω τιμές είναι δεκτές.
Για \alpha=0 και \beta=1 είναι:

    \[f(x)=2x^3-6x^2+6x+1\]

    \[f'(x)=6x^2-12x+6\]

    \begin{align*} 										&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 										&6x^2-12x+6=0 \Leftrightarrow\\ 										&6(x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow\\ 										&(x-1)^2=0 \Leftrightarrow\\ 										&x=1 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $1$ 		           &    & {\quad\tiny{$ +\infty$}}   &						\\ \hline $  f'$		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		     & $ +$          &		&						\\ \hline $  f$		 &                   &   $ \nearrowtail$	 & $ |$		     & $ \nearrowtail$          &		&						\\ \hline \end{tabular}\\ \]

Παρατηρούμε ότι η f δεν παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο. Άρα οι τιμές \alpha=0 και \beta=1 δεν είναι δεκτές.
Για \alpha=-1 και \beta=4 είναι:

    \[f(x)=2x^3-3x^2+4\]

    \[f'(x)=6x^2-6x\]

    \begin{align*} 										&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 										&6x^2-6x=0 \Leftrightarrow\\ 										&6x(x-1)=0 \Leftrightarrow\\ 										&x=0 \quad \text{ή} \quad x=1 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[										 \begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $0$ 		&        & $ 1$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $ f' $    &                   &   $+ $    &$ 0$	        &  $ -$  & $ 0$     & $ +$	    &	                      						\\ \hline  $f $    &                   &   $\nearrowtail $    &$ |$	        &  $ \searrowtail$  & $ |$     & $ \nearrowtail$	    & \\ \hline \end{tabular}\]

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο, Άρα οι τιμές \alpha=-1 και \beta=4 είναι δεκτές.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *