ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Print Friendly, PDF & Email

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα, συνήθως εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, Υποθέτουμε δηλαδή ότι η f παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο x_0, το οποίο είναι εσωτερικό ενός διαστήματος \Delta του πεδίου ορισμού της f, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει ότι f'(x_0)=0. Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο.

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma, \quad \alpha,\beta,\gamma\in\rr\]

Αν ισχύει \alpha^2<2\beta, να αποδείξετε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα.
Λύση
Έστω ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο x_0\in\rr. Επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0 και το x_0 είναι εσωτερικό σημείο του \rr. Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat θα ισχύει ότι:

    \[f'(x_0)=0\]

Όμως έχουμε:

    \[f'(x)=3x^2+2\alpha x+\beta\]

Επομένως έχουμε:

    \begin{align*} 										&f'(x_0)=0 \Leftrightarrow\\ 										&3x_0^2+2\alpha x_0+\beta=0 										\end{align*}

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα

    \begin{align*} 										&\Delta=4\alpha^2-12\beta=4(\alpha^2-3\beta)<-4\beta<0 										\end{align*}

Επειδή από υπόθεση \alpha^{2}<2\beta\Rightarrow \alpha^{2}-3\beta <-\beta
Επιπλέον 2\beta>\alpha^2\geq0\Rightarrow\beta>0.

Συνεπώς η παράγωγος της συνάρτησης f δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο \rr.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *