ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+2x-6,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-8x+14,$ & $ x>2$  \end{tabular} \right. \]

Λύση
Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2. Έχουμε:

    \begin{align*} 											&\lim_{x \to 2^-}f(x)=\\ 											&\lim_{x \to 2^-}(x^2+2x-6)=2 										\end{align*}

    \begin{align*} 											&\lim_{x \to 2^+}f(x)=\\ 											&\lim_{x \to 2^+}(x^2-8x+14)=2 										\end{align*}

    \[f(2)=2\]

Άρα η f είναι συνεχής στο 2.
Για x<2 έχουμε:

    \[f'(x)=2x+2\]

Για x>2 έχουμε:

    \[f'(x)=2x-8\]

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[	 \begin{tabular}{r l c c c  c c c    r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $}          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		&        & $ 2$     &  &$4$      &\multicolumn{1}{r|}{\tiny{$ +\infty$}}  					\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 2x+2$	}	 &                   &   $ -$	 & $ 0$		&  $ +$  & $ |$     & $ $          & $|$ &	\multicolumn{1}{r|}$ $  				\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$2x-8 $	}	 &	             & $ $	 &$ |$	        &  $ $  &$ | $     & $ -$	    &	$0$ & \multicolumn{1}{r|}{$+$}   							\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$   } &                   &   $ -$    &$ |$	        &  $ +$  & $ |$     & $ -$	    &	          $0$            &	\multicolumn{1}{r|}{$+$} 				\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ }   &                   &   $ \searrowtail$    &$ |$	        &  $ \nearrowtail$  & $ |$     & $ \searrowtail$	    &	          $|$        & 	\multicolumn{1}{r|}{$\nearrowtail$}	 \\ \hline         &                    &                     &T.E.  &                             & T.M.    &      &   T.E.   &       \\        &                    &                     &$f(-1)$  &                             & $f(2)$   &      &   $f(4)$   &  \end{tabular} \]

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει:
Στο -1 τοπικό ελάχιστο το f(-1)=-7.
Στο 0 τοπικό μέγιστο το f(2)=2.
Στο 1 τοπικό ελάχιστο το f(4)=-2.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *