ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Θεώρημα Fermat
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta.
Αν ισχύουν τα παρακάτω

  • η f παρουσιάζει τοπικό ή ολικό ακρότατο στο x_0,
  • το x_0 είναι εσωτερικό σημείο του \Delta,
  • η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0,

τότε f'(x_0)=0.

Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta. Οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων της f είναι:

  • Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος \Delta στα οποία η f' μηδενίζεται.
  • Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος \Delta στα οποία η f δεν είναι παραγωγίσιμη.
  • Τα άκρα του διαστήματος \Delta (εφόσον το \Delta είναι κλειστό σε κάποιο από αυτά).

Ειδικότερα τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος \Delta στα οποία η f' μηδενίζεται ή η f δεν είναι παραγωγίσιμη, ονομάζονται κρίσιμα σημεία της f.

Θεώρημα – Κριτήριο τοπικών ακροτάτων
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (\alpha,\beta), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x_0, στο οποίο η f είναι συνεχής.

  • Αν ισχύει f'(x)>0 στο (\alpha,x_0) και f'(x_0)<0 στο (x_0,\beta), τότε το f(x_0) είναι τοπικό μέγιστο της f.
  • Αν ισχύει f'(x)<0 στο (\alpha,x_0) και f'(x_0)>0 στο (x_0,\beta), τότε το f(x_0) είναι τοπικό ελάχιστο της f.
  • Αν η f'(x) διατηρεί πρόσημο στο (\alpha,x_0)\cup(x_0,\beta), τότε το f(x_0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (\alpha,\beta).

Μεθοδολογία
Για να βρούμε τα ακρότατα μια συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού.
  • Βρίσκουμε την f'(x).
  • Λύνουμε την εξίσωση f'(x)=0 και βρίσκουμε το πρόσημο της f'.
  • Σχηματίζουμε πίνακα με τη μονοτονία της f.

Αν σε κάποιο x_0\in A_f η f είναι συνεχής και αλλάζει μονοτονία, τότε το f(x_0) είναι τοπικό ακρότατο της f.

Παράδειγμα.1.
Να βρείτε τα ακρότατα της

    \[f(x)=x^3-3x\]

Λύση
Η f(x)=x^3-3x έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f'(x)=3x^2-3\]

Έχουμε:

    \begin{align*} 											&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 											&3x^2-3=0 \Leftrightarrow\\ 											&x^2-1=0 \Leftrightarrow\\ 											&x^2=1 \Leftrightarrow\\ 											&x=\pm 1 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \begin{align*}	 \small{ \begin{tabular}{r l c c c  c c r} \hline  \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $}          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-1$ 		&        & $ 1$     &               & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}}   						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 3x^2-3 $}		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		&  $ -$  & $ 0$     & $ +$          &		 \multicolumn{1}{r|}{}						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f'$}		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		&  $ -$  & $ 0$     & $ +$          &		 \multicolumn{1}{r|}{}						\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f $}		 &	             & $ \nearrowtail$	 &$ |$	        &  $ \searrowtail$  &$ | $     & $ \nearrowtail$	    &	\multicolumn{1}{r|}{}		\\ \hline 	   &		     &	                          &T.M.        &               & T.E.    &                        &\\ 		 &		     &	                 &$f(-1)=2$        &               & $f(1)=-2    &                        & \end{tabular}} \end{align*}

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει:
Στο -1 τοπικό μέγιστο το f(-1)=2
Στο 1 τοπικό ελάχιστο το f(1)=-2
Παράδειγμα.2.

Να βρείτε τα ακρότατα της

    \[f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5 \quad \text{με} \quad x\in[-1,3]\]

Λύση
Για κάθε x\in[-1,3] είναι:

    \[f'(x)=4x^3-12x^2+8x\]

Έχουμε:

    \begin{align*} 											&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 											&4x^3-12x^2+8x=0 \Leftrightarrow\\ 											&4x(x^2-3x+2)=0 \Leftrightarrow\\ 											&4x(x-2)(x-1)=0 \Leftrightarrow\\ 											&x=0 \quad \text{ή} \quad x=2 \quad \text{ή} \quad x=1 										\end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[	{\tiny{ \begin{tabular}{r c c c   c c c c c     r} \hline  \multicolumn{1}{|r|}{$ x   $}           &   $ -1$  &     & $0$ 		&        & $ 1$     &  &$2$   &   & 	 \multicolumn{1}{r|}{ $ 3$} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$  x$	}	          &   $|$    &  $ -$	 & $ 0$		&  $ +$  & $ |$     & $ +$          & $|$ &	$+$   & 	\multicolumn{1}{r|}{$| $	} 	\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{{\tiny{$x^2-3x+2 $}}	}	  &    $|$     & $ +$	 &$ |$	        &  $ +$  &$ 0 $     & $ -$	    &	$0$ & $+$   & 				\multicolumn{1}{r|}{$| $	} 		\\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$  }             & $|$   &      $ -$    &$ |$	        &  $ +$  & $ |$     & $ -$	    &	          $|$            &	$+$ 	&	\multicolumn{1}{r|}{$| $	}  \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$  }          &  $|$  &      $ \searrowtail$    &$ |$	        &  $ \nearrowtail$  & $ |$     & $ \searrowtail$	    &	          $|$        & 	$\nearrowtail	& \multicolumn{1}{r|}{$| $	}  \\ \hline \\                                            &T.M. & &T. Ε.  &  & T.Μ. & & T.Ε. &   &T.M. \\                                            &$f(-1)$ & &$f(0)$  &  & $f(1)$ & & $f(2)$ &   &$f(3)$ \end{tabular}} \]

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει:
Στο -1 τοπικό μέγιστο το f(-1)=14.
Στο 0 τοπικό ελάχιστο το f(0)=5.
Στο 1 τοπικό μέγιστο το f(1)=6.
Στο 2 τοπικό ελάχιστο το f(2)=5.
Στο 3 τοπικό μέγιστο το f(3)=14.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *