ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Μια ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)\leq 0 ή f(x)\geq 0
  • Με τη μέθοδο των παραγώγων αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
  • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα \rho της εξίσωσης f(x)=0, οπότε η ανίσωση γίνεται f(x)\leq f(\rho) ή f(x)\geq f(\rho)
  • Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της f.
  • π.χ. αν

    Rendered by QuickLaTeX.com

    ή

    Rendered by QuickLaTeX.com

  • Για την επίλυση ανισώσεων της μορφής f\Big(g(x)\Big) < f\Big(h(x)\Big)
    έχουμε:
    αν

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Και λύνουμε την ανίσωση g(x) < h(x) με κάποια γνωστή μέθοδο.
    Ενώ αν

    Rendered by QuickLaTeX.com

    λύνουμε την ανίσωση g(x) > h(x)

  • Απο τα παραπάνω βγάζουμε τον συμπέρασμα ότι αν η f γν.αυξουσα διατηρείται η διάταξη της ανίσωσης ενω αν η f γν.φθίνουσα η διάταξη της ανίσωσης αλλάζει.

    Παράδειγμα.

    Να λύσετε την ανίσωση

        \[e^{x-1}\leq1-lnx\]

    Λύση

    Με x>0 η ανίσωση γίνεται:

        \begin{align*} 										&e^{x-1}\leq1-lnx \Leftrightarrow\\ 										&e^{x-1}-1+lnx\leq0 										\end{align*}

    Θεωρούμε τη συνάρτηση

        \[f(x)=e^{x-1}-1+lnx, \quad \text{με} \quad x>0\]

    Παρατηρούμε ότι f(1)=0
    Άρα η ανίσωση γράφεται:

        \begin{align*}                                                                                 &e^{x-1}-1+lnx\leq0 \Leftrightarrow\\ 										&e^{x-1}-1+lnx\leq f(1) \Leftrightarrow\\ 										&f(x)\leq f(1) 										\end{align*}

    Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία. Για κάθε x>0 είναι:

        \[f'(x)=e^{x-1}+\frac{1}{x}>0\]

    Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα για x>0.
    Άρα έχουμε:

        \begin{align*} 										&f(x)\leq f(1) \Leftrightarrow\\ 										&x\leq 1  										\end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *