ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής f(x)\geq g(x) με f, g παραγωγίσιμες συναρτησεις για καθε x\in\Delta εργαζόμαστε ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος και η ανίσωση γίνεται f(x)-g(x)\geq0

  • Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x)
  • Μελετάμε την h ως προς τη μονοτονία, με τη μέθοδο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
  • Οι παρακάτω ιδιότητες:

x>\alpha \stackrel{ h \uparrowtail}{\Leftrightarrow}h(x)>h(\alpha)

και
x>\alpha \stackrel{ h \downarrowtail}{\Leftrightarrow}h(x)<h(\alpha)
Όπου για κατάλληλη τιμή του \alpha μας οδηγούν στην ζητούμενη ανισότητα.


Παράδειγμα.

Να αποδείξετε ότι

    \[\frac{2(x-1)}{x+1}<lnx \quad \text{για κάθε} \quad x>1\]

Λύση

Για κάθε x>1 η ανιστότητα που πρέπει να αποδείξουμε γίνεται:

    \begin{align*} 											& \frac{2(x-1)}{x+1}<lnx \Leftrightarrow\\ 											& \frac{2(x-1)}{x+1}-lnx<0 											\end{align*}

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

    \[f(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}-lnx, \quad \text{με} \quad x>1\]

Για κάθε x>0 ισχύει ότι:

    \begin{align*} 											f'(x)&=\frac{2(x+1)-2(x-1)}{(x+1)^2}-\frac{1}{x}\\\\ 											&=\frac{2x+2-2x+2}{(x+1)^2}-\frac{1}{x}\\\\ 											&=\frac{4}{(x+1)^2}-\frac{1}{x}\\\\ 											&=\frac{4x-x^2-2x-1}{x(x+1)^2}\\\\ 											&=\frac{-(x^2-2x+1)}{x(x+1)^2}\\\\ 											&=\frac{-(x-1)^2}{x(x+1)^2}<0 											\end{align*}

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα για x>1.
Επομένως ισχύει:

    \begin{align*} 											&x>1 \stackrel{ f \downarrowtail}{\Leftrightarrow}\\ 											&f(x)<f(1) \Leftrightarrow\\ 											&f(x)<0 \Leftrightarrow\\ 											&\frac{2(x-1)}{x+1}-lnx<0 \Leftrightarrow\\ 											&\frac{2(x-1)}{x+1}<lnx 											\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

3 thoughts on “ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ”

  1. Δύο ασκήσεις κύριε Διακόπουλε . Μήπως θα μπορούσατε να παραθέσετε τη λύση τους ? ( την πρώτη την έλυσα με παραδοχές όμως για τις οποίες δεν είμαι σίγουρος – χρησιμοποίησα και το Θεώρημα Μέσης Τιμής )

    1) Εστω για μια συνάρτηση f , η f ‘ είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα για κάθε x μεγαλύτερο ή ίσο με το 0 . Αν f(0)=0 , να αποδείξετε ότι η g(x) = 1996 e^(x) + f(x)/x είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x>0 .

    2) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] με α>0 , και η f ‘ είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό . Να αποδείξετε ότι :
    α) Η συνάρτηση g με g(x)= x f'(x) – f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] .
    β) Αν f(α)=f ‘ (α) = 0 , τότε η συνάρτηση h με h(x)= f(x)/x είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] .

    Σας ευχαριστώ πολύ !!

    1. Αγαπητέ Βασίλη
      Θα ήταν πιο εποικοδομητικό να έστελνες με μια φώτο την προσπάθεια σου, ώστε να έχεις τα ακριβή σχόλια και παρατηρήσεις πάνω στον τρόπο της λύσης σου.

      Με εκτίμηση
      Ν.Α.Διακόπoυλος

      1. Την δεύτερη άσκηση δεν μπόρεσα να την λύσω .
        Σε ότι αφορά την πρώτη , παραγώγισα την g(x) και έτσι

        έχουμε g'(x) = 1996 e^(x) +( xf'(x)-f(x))/ x^2
        Στο (0, +άπειρο ) λοιπόν , μελετάω το πρόσημο της g'(x) και αυτό που μου μένει είναι να υπολογίσω το πρόσημο του αριθμητή γιατί οι υπόλοιποι όροι είναι θετικοί στο (0, +άπειρο ) .
        Ετσι θεωρώ καινούργια συνάρτηση h(x) = xf'(x)-f(x) και εδώ εφάρμοσα το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο [0, α] και σε συνδυασμό με την μονοτονία της f ‘ (x) κατέληξα πως η h(x) είναι θετική στο (0, +άπειρο ) .

        Την δεύτερη άσκηση δεν μπόρεσα να την λύσω κύριε Διακόπουλε.

        Αγαπητέ Βασίλη
        Από τη θεωρία ξέρουμε ότι:

        Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα \Delta

        • Αν f'(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι γνησίως άυξουσα σε ΟΛΟ το \Delta.
      2. Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει.

        Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο \Delta, η παράγωγος της δεν είναι υποχρεωτικά θετικη στο εσωτερικό του \Delta.

        Για παράδειγμα:

        f(x) = x^{3}, όπου ξέρουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο \rr,
        εντούτοις η παράγωγός της f'(x) =3x^{2}
        δεν είναι θετική σε όλο το \rr, αφού f'(0)=0.

        Συνέπως για τις παραπάνω ασκήσεις θα κάνεις χρήση της ιδιότητας:

        Αν f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \Delta
        και η f παραγωγίσιμη στο \Delta,
        τότε η f'(x)\geq 0 στο \Delta.
        Δηλαδή η παράγωγος f' ή θα είναι Θετική ή θα έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών στο \Delta.
        Ή αλλίως η f' δεν μπορεί να είναι αρνητική στο \Delta.
        Ή για κάποιο υποδιάστημα \Delta_{1} του \Delta ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ η f'(x)=0 για ΟΛΑ τα x\in \Delta_{1}\subseteq \Delta.

        Καλή Ανάσταση και καλό διάβασμα
        Ν.Α. Διακόπουλος.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *