ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής f(x)\geq g(x) με f, g παραγωγίσιμες συναρτησεις για καθε x\in\Delta εργαζόμαστε ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος και η ανίσωση γίνεται f(x)-g(x)\geq0

  • Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x)
  • Μελετάμε την h ως προς τη μονοτονία, με τη μέθοδο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
  • Οι παρακάτω ιδιότητες:

x>\alpha \stackrel{ h \uparrowtail}{\Leftrightarrow}h(x)>h(\alpha)

και
x>\alpha \stackrel{ h \downarrowtail}{\Leftrightarrow}h(x)<h(\alpha)
Όπου για κατάλληλη τιμή του \alpha μας οδηγούν στην ζητούμενη ανισότητα.


Παράδειγμα.

Να αποδείξετε ότι

    \[\frac{2(x-1)}{x+1}<lnx \quad \text{για κάθε} \quad x>1\]

Λύση

Για κάθε x>1 η ανιστότητα που πρέπει να αποδείξουμε γίνεται:

    \begin{align*} 											& \frac{2(x-1)}{x+1}<lnx \Leftrightarrow\\ 											& \frac{2(x-1)}{x+1}-lnx<0 											\end{align*}

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

    \[f(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}-lnx, \quad \text{με} \quad x>1\]

Για κάθε x>0 ισχύει ότι:

    \begin{align*} 											f'(x)&=\frac{2(x+1)-2(x-1)}{(x+1)^2}-\frac{1}{x}\\\\ 											&=\frac{2x+2-2x+2}{(x+1)^2}-\frac{1}{x}\\\\ 											&=\frac{4}{(x+1)^2}-\frac{1}{x}\\\\ 											&=\frac{4x-x^2-2x-1}{x(x+1)^2}\\\\ 											&=\frac{-(x^2-2x+1)}{x(x+1)^2}\\\\ 											&=\frac{-(x-1)^2}{x(x+1)^2}<0 											\end{align*}

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα για x>1.
Επομένως ισχύει:

    \begin{align*} 											&x>1 \stackrel{ f \downarrowtail}{\Leftrightarrow}\\ 											&f(x)<f(1) \Leftrightarrow\\ 											&f(x)<0 \Leftrightarrow\\ 											&\frac{2(x-1)}{x+1}-lnx<0 \Leftrightarrow\\ 											&\frac{2(x-1)}{x+1}<lnx 											\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *