Για να λύσουμε εξισώσεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τη βοήθεια της μονοτονίας διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα
Χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση ως εξής:

Παράδειγμα.1.
Να λύσετε την εξίσωση
Λύση.
Η εξίσωση γίνεται:
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
Παρατηρούμε ότι , δηλαδή το
είναι ρίζα της εξίσωσης
Μελετάμε την ως προς τη μονοτονία. Για κάθε
έχουμε:
Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα για κάθε
. Άρα το
είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης
, άρα και της αρχικής.
Μοναδική ρίζα συναρτήσεων που δεν είναι γνησίως μονότονες
Έστω ότι έχουμε μια εξίσωση της μορφής , της οποίας έχουμε βρεί μια προφανή ρίζα
Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ρίζα είναι μοναδική, χωρίς η συνάρτηση
να είναι γνησίως μονότονη.
Αρκεί η συνάρτηση να αλλάζει μονοτονία μόνο στο
Συγκεκριμένα:
-
Αν η συνάρτηση

![Rendered by QuickLaTeX.com (-\infty, \rho],](http://diakopoulos.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-649622b4a2f0d2687863f7c966d3374b_l3.png)
- και γνησίως αύξουσα στο
τότε ισχύουν:
Άρα ισχύει ότι για κάθε
, οπότε η
είναι μοναδική.
-
Ενώ
- Αν η συνάρτηση
είναι γνησίως φθίνουσα στο
- και γνησίως αύξουσα στο
τότε ισχύουν:
Άρα ισχύει ότι για κάθε
, οπότε η
είναι μοναδική.
Παράδειγμα.2.
Να λύσετε την εξίσωση
Λύση
Με η εξίσωση γίνεται:
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
Παρατηρούμε ότι
δηλαδή το είναι μια προφανής ρίζα της εξίσωσης
Μελετάμε την ως προς τη μονοτονία.
Για κάθε είναι:
Έχουμε:
Το πρόσημο της και η μονοτονία της
φαίνεται στο πίνακα:
Η είναι γνησίως αύξουσα στο
οπότε έχουμε:
και γνησίως φθίνουσα στο
Δηλαδή ισχύει για κάθε
. Άρα το
είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης
, άρα και της αρχικής.
Επίλυση εξίσωσης, 1-1 (ενα προς ενα) συνάρτησης.
Ισχύει ότι: Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι και 1-1.
Χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση ως εξής:
- Φέρνουμε την εξίσωση στην μορφή
- Αποδεικνύουμε ότι η
είναι γνησίως μονότονη άρα και 1-1.
-
Η εξίσωση γίνεται:
- Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει, η οποία είναι απλούστερη απο την αρχική.
Παράδειγμα.3.
Δίνεται η συνάρτηση
α.) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία.
β.) Να λύσετε την εξίσωση
Λύση
α.) Η έχει πεδίο ορισμού το
. Για κάθε
έχουμε:
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο
β.) Με , η εξίσωση γράφεται:
Όμως η είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1, οπότε έχουμε:
Απόδειξη μοναδικής ρίζας εξίσωσης σε ανοικτό διάστημα (α,β)
Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική λύση σε ένα διάστημα εργαζόμαστε ως εξής:
-
Μετάφέρνουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο ένα μέλος ώστε να πάρει τη μορφή

-
Αποδεικνύουμε ότι η



![Rendered by QuickLaTeX.com [\alpha,\beta].](http://diakopoulos.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-752cbf39f2b1ebe73210db8ae6e48fce_l3.png)
- Αποδεικνύουμε ότι η
είναι γνησίως μονότονη, οπότε η ρίζα είναι μοναδική.
Παράδειγμα.4.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα
Λύση
Με η εξίσωση γίνεται:
Θεωρούμε τη συνάρτηση
Ισχύουν τα εξής:
Η είναι συνεχής στο
άρα
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο
Μελετάμε την ως προς τη μονοτονία. Για κάθε
είναι:
Όπου γιατί
και
.
Άρα έχουμε ότι:
Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα για
Επομένως η εξίσωση , άρα και η αρχική έχει μοναδική ρίζα για
, η οποία ανήκει στο διάστημα
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .









