ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x^3+3\alpha x^2+6x-4 \quad \text{με} \,\alpha\in\rr.
Να βρείτε για ποιές τιμές του \alpha η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr.

Λύση

Για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

    \begin{align*} 										&f'(x)=6x^2+6\alpha x+6\Leftrightarrow \\ 										&f'(x)= 6(x^2+\alpha x +1). 										\end{align*}

Το πρόσημο της f' καθορίζεται από το τριώνυμο x^2+\alpha x +1. Το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα:

    \[\Delta=\alpha^2-4\]

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Αν

    \begin{align*} 										&\Delta>0  \Leftrightarrow\\ 										&\alpha^2-4>0  \Leftrightarrow\\ & \alpha^{2} >4\Leftrightarrow \\ &\sqrt{\alpha^{2}} >\sqrt {4} \Leftrightarrow \\ & |\alpha|> 2\Leftrightarrow \\ 										& \alpha<-2 \quad \text{ή} \quad \alpha>2 										\end{align*}

τότε το τριώνυμο έχει δύο ρίζες \rho_1<\rho_2.
Άρα το πρόσημο της f' θα δίνεται από τον πίνακα:

    \[\small{ \begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $\rho_1$ 		&        & $ \rho_2$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $ f'(x)= 6(x^2+\alpha x +1) $		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		&  $ -$  & $ 0$     & $ +$          &									\\ \hline $ f $		 &	             & $ \nearrowtail$	 &$ |$	        &  $ \searrowtail$  &$ |$     & $ \nearrowtail$	    &									\\ \hline								 \end{tabular} } \]

Δηλαδή η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο \rr, άρα η περίπτωση \Delta>0 απορρίπτεται.
Αν

    \begin{align*} 										&\Delta=0 \Leftrightarrow\\ 										&\alpha^2-4=0 \Leftrightarrow\\                                                                                 &\alpha ^{2} = 4\Leftrightarrow\\ 										&\alpha=\pm2 										\end{align*}

τότε το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα \rho.
Στην περίπτωση αυτή ισχύει f'(x)\geq0 για κάθε x\in\rr και η ισότητα f'(x)=0 ισχύει μόνο για x=\rho, όπου η f είναι συνεχής, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr.

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $\rho$ 		           &    & {\quad\tiny{$ +\infty$}}   &						\\ \hline $ f'(x)= 6(x^2+\alpha x +1)$		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		     & $ +$          &		&						\\ \hline $  f$		 &                   &   $ \nearrowtail$	 & $ |$		     & $ \nearrowtail$          &		&						\\ \hline \end{tabular}\\ \]

Αν

    \begin{align*} 										&\Delta<0 \Leftrightarrow\\ 										&\alpha^2-4<0 \Leftrightarrow\\ & \alpha^{2} <4\Leftrightarrow \\ &\sqrt{\alpha^{2}} <\sqrt {4} \Leftrightarrow \\ & |\alpha|<2\Leftrightarrow \\ 										&-2<\alpha<2 										\end{align*}

τότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του προσήμου του x^2 για κάθε x\in\rr.
Στην περίπτωση αυτή ισχύει f'(x)>0 για κάθε x\in\rr. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr.

    \[ \begin{tabular}{|r| l r r r c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           &  		           &    & {\quad\tiny{$ +\infty$}}   &						\\ \hline $ f'(x)= 6(x^2+\alpha x +1)$		 &                   &  	 & 	$ +$	     &           &		&						\\ \hline $  f$		 &                   &  	 & 	$ \nearrowtail$     &           &		&						\\ \hline \end{tabular}\\ \]

Τελικά η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr όταν

    \begin{align*} 										&\Delta\leq0 \Leftrightarrow\\ 										&-2\leq\alpha\leq2 										\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *