ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

Αν δεν μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της πρωτης παραγώγου f', τότε υπολογίζουμε τη το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Στην περίπτωση που αυτό δεν είναι εφικτό βρίσκουμε τις παραγώγους ανώτερης τάξης ως εκείνης που μπορούμε να βρούμε το πρόσημο.

Παράδειγμα.1
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[f(x)=3e^x+x^2-3x+7\]


Λύση

Για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f'(x)=3e^x+2x-3\]

Παρατηρούμε ότι δε μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της f'(x)=3e^x+2x-3 για αυτό βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο.
Για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f''(x)=3e^x+2\]

Τις ρίζες και το πρόσημο της f'' μπορούμε να τα βρούμε. Έχουμε:

    \begin{align*} 										&f''(x)=0 \Leftrightarrow\\ 										&3e^x+2=0 \Leftrightarrow\\ 										&e^x=-\frac{2}{3} \quad \text{αδύνατο} 										\end{align*}

Άρα η δεύτερη παράγωγος είναι θετική για καθε x \in \rr δηλαδή f''(x) >0, οπότε η f' είναι γνησίως αύξουσα στο \rr. Άρα έχουμε:

    \begin{align*} 										&x>0 \Leftrightarrow\\ 										&f'(x)>f'(0) \Leftrightarrow\\ 										&f'(x)>0 										\end{align*}

    \begin{align*} 										&x<0 \Leftrightarrow\\ 										&f'(x)<f'(0) \Leftrightarrow\\ 										&f'(x)<0 										\end{align*}

Άρα ισχύει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα για (-\infty,0] και γνησίως φθίνουσα για [0,+\infty).

Παράδειγμα.2
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{\eta\mu x}{x}\]

στο (0,\pi].
Λύση
Για τη συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{\eta\mu x}{x}\]

στο (0,\pi] ισχύει:

    \[f'(x)=\frac{\sigma\upsilon\nu x\cdot x-\eta\mu x}{x^2}\]

Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της f' και αν βρούμε την f'' γίνεται ακόμα πιο δύσκολο.
Παρατηρούμε όμως ότι για x\in(0,\pi] ισχύει ότι:

    \[x^2>0\]

Άρα το πρόσημο της f' καθορίζεται από το πρόσημο της παράστασης \sigma\upsilon\nu x\cdot x-\eta\mu x
Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση:

    \[g(x)=\sigma\upsilon\nu x\cdot x-\eta\mu x\]

για την οποία υπολογίζουμε την παράγωγο της.

    \begin{align*} 						&g'(x)=-\eta\mu x\cdot x+\sigma\upsilon\nu x-\sigma\upsilon\nu x \Leftrightarrow \\\\ 						&g'(x)=-x\eta\mu x<0 										\end{align*}

Επειδή \hm x >0 για κάθε x \in (0, \pi).
Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,\pi] οπότε έχουμε:

    \begin{align*} 										&x>0 \Leftrightarrow\\ 										&g(x)<g(0) \Leftrightarrow\\ 										&g(x)<0 \Leftrightarrow\\                                                                                 &\sigma\upsilon\nu x\cdot x-\eta\mu x<0 \Leftrightarrow\\\\                                                                       &\dfrac{\sigma\upsilon\nu x\cdot x-\eta\mu }{x^{2}}<0\Leftrightarrow\\\\ 										&f'(x)<0 										\end{align*}

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,\pi].

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *