ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Αν για μια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2, όπου \Delta_1 και \Delta_2 διαστήματα και η παράγωγος f' διατηρει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο x των \Delta_1 και \Delta_2, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα \Delta_1 και \Delta_2.
Δεν μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2.

Έστω μια συνάρτηση f που ορίζεται στο διάστημα [\alpha,\beta] και x_0\in(\alpha,\beta).

  • Αν ισχύει f'(x)>0 για κάθε x\in(\alpha,x_0)\cup(x_0,\beta), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [\alpha,x_0) και (x_0,\beta].
    Για τη μονοτονία της f στο [\alpha,\beta] έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
    \circ Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)>\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο [\alpha,\beta].
    {\rightarrowtail} Αν η f είναι συνεχής στο x_0 η f είναι γνησίως αύξουσα στο [\alpha,\beta].
    \circ Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)<\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) η f είναι γνησίως αύξουσα στο [\alpha,\beta].
  • Αν ισχύει f'(x)<0 για κάθε x\in(\alpha,x_0)\cup(x_0,\beta), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [\alpha,x_0) και (x_0,\beta]. Για τη μονοτονία της f στο [\alpha,\beta] έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
    \circ Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)<\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [\alpha,\beta].
    \rightarrowtail Αν η f είναι συνεχής στο x_0 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [\alpha,\beta].
    \circ Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)>\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο [\alpha,\beta].

Παράδειγμα.1.
α μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{                                                                                      		\begin{tabular}{ll} 									$e^{x^3-3x^2}, \quad x\leq0$ \\ 									$x^2e^{1-x}, \quad x>0$\\ 									\end{tabular} 									\right. 									\]

Λύση

Για τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{                                                                                      		\begin{tabular}{ll} 									$e^{x^3-3x^2}, \quad x\leq0$ \\ 									$x^2e^{1-x}, \quad x>0$\\ 									\end{tabular} 									\right.  									\]

ισχύει ότι:

    \[ \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-}(e^{x^3-3x^2})=1\]

και

    \[ \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}(x^2e^{1-x})=0\]

Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 0.
Για x<0 είναι f(x)=e^{x^3-3x^2} και ισχύει:

    \[f'(x)=e^{x^3-3x^2}(3x^2-6x)\]

Το πρόσημο του e^{x^3-3x^2}(3x^2-6x) φαίνεται στον πίνακα:

    \[\begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $0$ 		&        & $ 2$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $ e^{x^3-3x^2} $		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		& \cellcolor{gray!25} $ +$  &\cellcolor{gray!25} $ |$     &\cellcolor{gray!25} $ +$          &	\cellcolor{gray!25}								\\ \hline $ 3x^2-6x $		 &	             & $ -$	 &$ |$	        & \cellcolor{gray!25} $ -$  &\cellcolor{gray!25}$ 0 $     & \cellcolor{gray!25}$ +$	    &		\cellcolor{gray!25}							\\ \hline $  e^{x^3-3x^2}(3x^2-6x) $    &                   &   $ -$    &$ 0$	        & \cellcolor{gray!25} $ $  & \cellcolor{gray!25}$ |$     &\cellcolor{gray!25} $ $	    &	\cellcolor{gray!25}                      						\\ \hline  \end{tabular}\]

Επίσης για x>0 είναι f(x)=x^2e^{1-x} και ισχύει:

    \begin{align*} 									&f'(x)=\\ 									&=2xe^{1-x}-x^2e^{1-x}\\ 									&=xe^{1-x}(2-x) 									\end{align*}

Το πρόσημο του xe^{1-x}(2-x)φαίνεται στον πίνακα:

    \[\begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $0$ 		&        & $ 2$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $ x $		 & \cellcolor{gray!25}                  &  \cellcolor{gray!25} $ -$	 & $ 0$		&  $ +$  & $ |$     & $ +$          &									\\ \hline $ e^{1-x} $		 &	\cellcolor{gray!25}             & \cellcolor{gray!25}$ +$	 &$ |$	        &  $ +$  &$ | $     & $ +$	    &									\\ \hline $ 2-x $    &  \cellcolor{gray!25}                 &\cellcolor{gray!25}   $ +$    &$ |$	        &  $ +$  & $ 0$     & $ -$	    &	                      						\\ \hline  $ xe^{1-x}(2-x) $    &   \cellcolor{gray!25}                & \cellcolor{gray!25}  $ $    &$ |$	        &  $ +$  & $ 0$     & $ -$	    & \\ \hline \end{tabular}\]

Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα:

    \[\begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $0$ 		&        & $ 2$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $  e^{x^3-3x^2}(3x^2-6x) $		 &                   &   $ +$	 & $ 0$		&\cellcolor{gray!25}  $ -$  & \cellcolor{gray!25}$ |$     &\cellcolor{gray!25} $ +$          &	\cellcolor{gray!25}								\\ \hline $ xe^{1-x}(2-x) $		 &	 \cellcolor{gray!25}            & \cellcolor{gray!25}$ +$	 &$ 0$	        &  $ +$  &$ 0 $     & $ -$	    &									\\ \hline $ f' $    &                   &   $ +$    &$ 0$	        &  $ +$  & $ 0$     & $ -$	    &	                      						\\ \hline  $f $    &                   &   $\nearrowtail $    &$ |$	        &  $ \nearrowtail$  & $ |$     & $ \searrowtail$	    & \\ \hline \end{tabular}\]

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,0] και στο (0,2] και γνησίως φθίνουσα στο [2,+\infty). Επειδή ισχύει ότι:

    \[\lim_{x \to 0^-}f(x)>\lim_{x \to 0^+}f(x)\]

η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,2].

Παράδειγμα.2.

Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{                                                                                      		\begin{tabular}{ll} 									$-e^{1-x}(x^2+x+1),$ &$x\leq1$ \\\\ 									$x^2-8\ln x-5,$ & $x>1$\\ 									\end{tabular} 									\right.  									\]

Λύση
Για τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{                                                                                      		\begin{tabular}{ll} 									$-e^{1-x}(x^2+x+1),$ &$x\leq1$ \\\\ 									$x^2-8\ln x-5,$ & $x>1$\\ 									\end{tabular} 									\right.  									\]

Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{0} =1 δηλαδή εξετάζουμε αν ισχύει ότι

    \[\lim_{x\to 1} f(x) =f(1).\]

Για x<1 ισχύει ότι:

    \begin{align*} 									&\lim_{x \to 1^-}f(x)=\\ 									&\lim_{x \to 1^-}(-e^{1-x}(x^2+x+1))=-3. 									\end{align*}

Για x>1 ισχύει ότι:

    \begin{align*} 									&\lim_{x \to 1^+}f(x)=\\ 									&\lim_{x \to 1^+}(x^2-8\ln x-5))=-4.                                                                         \end{align*}

Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 1.
Για x<1 είναι f(x)=-e^{1-x}(x^2+x+1) και ισχύει:

    \begin{align*} 									&f'(x)=e^{1-x}(x^2+x+1)-e^{1-x}(2x+1)\Leftrightarrow \\\\ 									&f'(x)=e^{1-x}(x^2-x) 									\end{align*}

Το πρόσημο του e^{1-x}(x^2-x) φαίνεται στον πίνακα:

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $0$ 		&        & $ 1$     &               & {\tiny{$ +\infty$}}   						\\ \hline $ e^{1-x} $		 &              &   $ +$	 &  	&  $ +$  & \cellcolor{gray!25}  $ 0$     & \cellcolor{gray!25}  $ +$          &	\cellcolor{gray!25}  								\\ \hline $ x^2-x $		 &	             &   $ +$	 &  $ 0$  &   $ -$  &\cellcolor{gray!25}  $ 0$     &\cellcolor{gray!25}   $ +$	    &	\cellcolor{gray!25}  								\\ \hline $e^{1-x}(x^2-x)$    &  & $ +$    & $ 0$ &   $ -$  &\cellcolor{gray!25}   $ 0$     & \cellcolor{gray!25}  $ +$	    &	\cellcolor{gray!25}                        			 \\ \hline									 \end{tabular} \]

Επίσης για x>1 είναι f(x)=x^2-8lnx-5 και ισχύει:

    \begin{align*} 					               &f'(x)=2x-\frac{8}{x}\Leftrightarrow\\						 							&f'(x)=\frac{2x^2-8}{x} 									\end{align*}

Το πρόσημο του

    \[\frac{2x^2-8}{x}\]

φαίνεται στον πίνακα:

    \[	 \begin{tabular}{|r| l c c c  c c c c c  r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-2$ 		&        & $ 0$   &$1$  &  &$2$            & {\tiny{$ +\infty$}}  & 					\\ \hline $  2x^2-8$		 & \cellcolor{gray!25}                  & \cellcolor{gray!25}  $ +$	 &\cellcolor{gray!25} $ 0$		& \cellcolor{gray!25} $ -$  &\cellcolor{gray!25} $ |$     &\cellcolor{gray!25} $ -$   &$ -$       & $ 0 $ &	$+$ 	&					\\ \hline $ x $		 &	\cellcolor{gray!25}             & \cellcolor{gray!25} $ -$	 &\cellcolor{gray!25} $ |$	        &\cellcolor{gray!25} $ -$  & \cellcolor{gray!25} $ 0 $     &\cellcolor{gray!25} $ +$	& $ +$    &	$|$ & $+$ 	&							\\ \hline $\frac{2x^2-8}{x}$    &     \cellcolor{gray!25}              & \cellcolor{gray!25} $ -$    & \cellcolor{gray!25} $ |$	        & \cellcolor{gray!25} $ +$  &  \cellcolor{gray!25} $ |$     &\cellcolor{gray!25}  $ -$	&$ -$    &	          $|$            &	$+$	&				\\ \hline \end{tabular} \]

Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνονται στο πίνακα:

    \[\tiny{ \begin{tabular}{|r| l c c c  c c c  c c c  r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $-2$ 		&        & $ 0$     &  &$1$   & &$2$   &{\tiny{$ +\infty$}}  & 					\\ \hline $  \frac{2x^2-8}{x}$		 &                   &   $ -$	 & $ 0$		&  $ +$  & $ |$     & $ -$          & $|$ &	$-$  & 	$0$ & $+$ &				\\ \hline $ e^{1-x}(x^2-x) $		 &	             & $ +$	 &$ |$	        &  $ +$  &$ 0 $     & $ -$	    &	$0$ & $+$   & 	$|$ & $+$ &						\\ \hline $f'$    &                   &   $ +$    &$ 0$	        &  $ +$  & $ |$     & $ -$	    &	          $|$            &	$-$ 	&	$0$ & $+$ &		\\ \hline $f$    &                   &   $ \nearrowtail$    &$ |$	        &  $ \nearrowtail$  & $ |$     & $ \searrowtail$	    &	          $|$        &  	$\searrowtail$	&  $|$ & $\nearrowtail$	& \\ \hline  \end{tabular}}\]

  • Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,0] επειδή στο -2 η συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε x<1, αφου f(x) =-e^{1-x}(x^{2}+x+1), είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
    Επίσης η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2,+\infty)
  • Επιπλέον η συναρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1] και στο (1,2].
    Επειδή ισχύει ότι:

        \[\lim_{x \to 1^-}f(x)>\lim_{x \to 1^+}f(x)\]

    έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο [0,2].

Δείτε την αντίστοιχη άσκηση για τον υπολογισμό της μονοτονίας με τη χρήση του ορισμού.

ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *