ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

Για να υπολογίσουμε τη μονοτονία συνάρτησης πολλαπλού τύπου, δηλαδή για να μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία μια συνάρτηση της μορφής

    \[f(x)=\left\{                                                                                      		\begin{tabular}{ll} 									$f_1(x),$ & $x\leq x_0$ \\\\ 									$f_2(x),$ & $x >x_0$\\ 									\end{tabular} 									\right.  									\]

εργαζόμαστε ως εξής:

  • Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο x_0.
  • Βρίσκουμε τις f'_1 για x<x_0 και f'_2 για x>x_0. Δεν χρεάζεται να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0, διότι αυτό δεν επηρεάζει τη μονοτονία της f.
  • Βρίσκουμε το πρόσημο της f'_1 για x<x_0 και της f'_2 για x>x_0.
  • Σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο με το της f', όπως προκύπτει από τα πρόσημα των f'_1 και f'_2.
  • Συμπληρώνουμε τον πίνακα με την μοντονία της f.

Παράδειγμα.
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{                                                                                      		\begin{tabular}{ll} 									$x^2-2x-1,$ &$x\leq2$ \\\\ 									$x^2-6x+7,$ &$x>2$\\ 									\end{tabular} 									\right. 									\]

Λύση

Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{0}=2, δηλαδή θα πρέπει

    \[\lim_{x\to 2}f(x)=f(2).\]

Επειδή στο x_{0} =2, έχουμε αλλαγή τύπου πρέπει να υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια
Οπότε:
Για x<2,

    \begin{align*} 									&\lim_{x \to 2^-}f(x)=\\ 									&\lim_{x \to 2^-}(x^2-2x-1)=\\ 									&=-1 									\end{align*}

Για x >2,

    \begin{align*} 									&\lim_{x \to 2^+}f(x)=\\ 									&\lim_{x \to 2^+}(x^2-6x+7)=\\ 									&=-1 									\end{align*}

Απο το κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε:

    \[\lim_{x \to 2^+}f(x)=-1=\lim_{x \to 2^-}f(x)\Leftrightarrow \lim_{x\to 2}f(x) =-1\]

Επιπλέον

    \[f(2)=-1\]

Δηλαδή ισχύει ότι:

    \[\lim_{x\to 2}f(x) =f(2)\]

Άρα η f είναι συνεχής στο x_{0} =2.
Για x<2 είναι:

    \[f'(x)=2x-2\]

Το πρόσημο της συνάρτησης 2x-2 για x<2 είναι:

    \[\begin{tabular}{|r| l c c c c ||c c r|} \hline	 $ x   $ &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $1$ &      & \multicolumn{2}{c}{$\,\, 2$}&\multicolumn{1}{r|}{\quad\tiny{$ +\infty $}}   \\ \hline					 $  2x-2$ &                  &   $ -$	& $ 0$& $ +$ &	&\multicolumn{2}{r|}{\cellcolor{gray!25}}			\\  \hline	 \end{tabular}\ \]

Για x>2 είναι:

    \[f'(x)=2x-6\]

Το πρόσημο της συνάρτησης 2x-6 για x>2 είναι:

    \[ \begin{tabular}{|r|  c c || c c  c  c c|} \hline $ x$ &\tiny{$ -\infty$}& \multicolumn{2}{c}{$2$}&  &$ 3$ & &\tiny{$+\infty $}\\ \hline $ 2x-6$ &\cellcolor{gray!25}&\cellcolor{gray!25}& &-&$ 0$ &$ +$ &\\ \hline \end{tabular} \]

Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνεται στο παρακάτω πίνακα:

    \[	 \begin{tabular}{|r| l c c c  c c c c r|} \hline $ x   $          &{\tiny{$ -\infty$}}&           & $1$ 		&        & $ 2$     &  &$3$            & {\tiny{$ +\infty$}}  & 					\\ \hline $f'$    &                   &   $ -$    &$ |$	        &  $ +$  & $ |$     & $ -$	    &	          $|$            &	$+$	&				\\ \hline $f$    &                   &   $ \searrowtail$    &$ |$	        &  $ \nearrowtail$  & $ |$     & $ \searrowtail$	    &	          $|$            &	$\nearrowtail$	& \\ \hline  \end{tabular} \]

Συγκεκριμένα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1,2] και [3,+\infty) και γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,1] και [2,3].

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *