ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα \Delta.

  • Αν f'(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \Delta.
  • Αν f'(x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το \Delta.
  • ΠΡΟΣΟΧΗ
    Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [\alpha,\beta].

  • Αν f'(x)>0 σε κάθε x\in(\alpha,\beta), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το [\alpha,\beta].
  • Αν f'(x)<0 σε κάθε x\in(\alpha,\beta), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το [\alpha,\beta].
  • Στα άκρα του διαστήματος [\alpha,\beta] δεν μας ενδιαφέρει ούτε το πρόσημο της f', ούτε αν αυτή μηδενίζεται, ούτε καν την ύπαρξή της.
    Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \Delta, τότε δεν ισχύει υποχρεωτικά f'(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta.

    Παράδειγμα.1.
    Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την

        \[f(x)=x^2-2x+3\]

    Λύση
    Η συνάρτηση

        \[f(x)=x^2-2x+3\]

    είναι συνεχής στο \rr και για κάθε x\in\rr ισχύει:

        \[f'(x)=2x-2\]

    Έχουμε:

        \begin{align*} 										&f'(x)>0 \Leftrightarrow\\ 										&2x-2>0 \Leftrightarrow\\                                                                                 &2x>2 \Leftrightarrow\\ 										&x>1 										\end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα για x\geq 1.

        \begin{align*} 										&f'(x)<0 \Leftrightarrow\\ 										&2x-2<0 \Leftrightarrow\\                                                                                 &2x<2 \Leftrightarrow\\ 										&x<1 										\end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα για x\leq1.
    Τελικά:

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Rendered by QuickLaTeX.com

    ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία ακολουθούμε τα εξής βήματα.

    • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.
    • Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής.
    • Βρίσκουμε την f'.
    • Λύνουμε την εξίσωση f'(x)=0 και βρίσκουμε, αν υπάρχουν, τις ρίζες της f'.
    • Βρίσκουμε το πρόσημο της f' είτε λύνοντας τις ανισώσεις f'(x)>0 και f'(x)<0 είτε βρίσκοντας το πρόσημο της f' σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της.
    • Σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο της f', στον οποίο σημειώνουμε το πεδίο ορισμού της f και τις ρίζες της f'.
    • Συμπληρώνουμε τον πίνακα με το είδος της μονοτονίας της f σε κάθε διάστημα.

    Παράδειγμα.2.
    Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

        \[f(x)=ln(x+1)-\frac{2x}{x+2}\]

    Λύση

    Η συνάρτηση f ορίζεται όταν:

        \begin{align*} 										&x+1>0 \Leftrightarrow x>-1\\                                                                                 &\quad \text{και} \quad \\                                                                                 & x+2 \neq 0 \Leftrightarrow x\neq -2. 										\end{align*}

    Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το

        \[A_{f}=(-1,+\infty)\]

    Η f είναι συνεχής στο (-1,+\infty) ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης για κάθε x\in(-1,+\infty) έχουμε:

        \begin{align*} 										f'(x)=&\Big(ln(x+1)-\frac{2x}{x+2}\Big)'=\\\\ &\frac{1}{x+1}- \frac{(2x)'\cdot(x+2)-2x\cdot(x+2)'}{(x+2)^{2}}=\\\\ &\frac{1}{x+1}- \frac{2\cdot(x+2)-2x\cdot 1}{(x+2)^{2}}=\\\\ &\frac{1}{x+1}-\frac{2x+4-2x}{(x+2)^2}=\\\\                                                                                       &\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}= \\\\                                                                                       &\frac{x^2+4x+4-4x-4}{(x+1)(x+2)^2} =\\\\ 										&\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2} 										\end{align*}

    Δηλαδή

        \[f'(x)=\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}.\]

    Βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της f'.

        \begin{align*} 										&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 										&\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}=0\Leftrightarrow x =0. 										\end{align*}

    Επιπλέον για x \neq 0 και x > -1

    έχουμε f'(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}>0 επειδή:

        \[x^2>0, \quad (x+2)^2>0, \quad x+1>0  \]

    Δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα για x>-1.
    Τελικά:

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Σημείωση για x=0, έχουμε f'(0) =0 αλλα η συνάρτηση f είναι γνησιως αύξουσα στο A_{f}=(-1, +\infty)
    Δείτε εδώ το γιατί:
    http://diakopoulos.net/2016/10/15/%ce%bc%ce%bf%ce%bd%ce%bf%cf%84%ce%bf%ce%bd%ce%b9%ce%b1-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%b1%ce%b3%cf%89%ce%b3%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%ce%b7%cf%83-%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%b1%cf%81%cf%84%ce%b7%cf%83%ce%b7%cf%83/

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *