ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Αν για δύο συναρτήσεις f και g ισχύει ότι:

    \[f'(x)=g'(x)\]

για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1, \Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $g(x)+c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $g(x)+c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right.  \]

Παράδειγμα.1.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr^*\rightarrow \rr για την οποία ισχύει

    \[f(-1)=\frac{e+1}{e}, \quad f(1)=e-4 \quad \text{και} \quad x^2f'(x)=x^2e^x-1\]

για κάθε x\neq0. Να βρείτε το τύπο της f.

Λύση

Για κάθε x\in(-\infty, 0)\cup(0,+\infty) ισχύει ότι:

    \begin{align*} 											&x^2f'(x)=x^2e^x-1 \Leftrightarrow\\ 											&f'(x)=\frac{x^2e^x-1}{x^2} \Leftrightarrow\\ 											&f'(x)=e^x-\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow\\ 											&f'(x)=(e^x+\frac{1}{x})' 											\end{align*}

Άρα υπάρχουν σταθερές c_1 και c_2 ώστε:

    \[f(x)= \left\{                                                                                     				 \begin{tabular}{ll} 											$e^x+\frac{1}{x}+c_1,$ & $ x<0$ \\\\ 											$e^x+\frac{1}{x}+c_2,$ & $ x>0$ \\ 											\end{tabular} 											\right.  											\]

Όμως για x=-1 είναι:

    \begin{align*} 											&f(-1)=\frac{e+1}{e} \Leftrightarrow\\\\ 											&e^{-1}+\frac{1}{-1}+c_1=\frac{e}{e} +\frac{1}{e}\Leftrightarrow\\\\ 											&\frac{1}{e}-1+c_1=1+\frac{1}{e} \Leftrightarrow\\\\ 											&c_1=2 											\end{align*}

Ενώ για x = 1 έχουμε:

    \begin{align*} 											&f(1)=e-4 \Leftrightarrow\\\\ 											&e+1+c_2=e-4 \Leftrightarrow\\\\ 											&c_2=-5 											\end{align*}

Τελικά είναι:

    \[f(x)= \left\{                                                                                    					  \begin{tabular}{ll} 											$e^x+\frac{1}{x}+2,$ &$ x<0$ \\\\ 											$e^x+\frac{1}{x}-5,$ & $ x>0$ \\ 											\end{tabular} 											\right.  											\]

Παράδειγμα.2.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr για την αποία ισχύει

    \[f(2)=2 \quad \text{και} \quad xf'(x)=2x^2+f(x)\]

για κάθε x\in\rr. Να βρείτε το τύπο της f.

Λύση

Για κάθε x\in(0,+\infty)\cup(0,+\infty) ισχύει ότι:

    \begin{align*} 												&xf'(x)=2x^2+f(x) \Leftrightarrow\\ 												&xf'(x)-f(x)=2x^2 \Leftrightarrow\\ 												&\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=2 \Leftrightarrow\\ 												&(\frac{f(x)}{x})'=(2x)' 												\end{align*}

Άρα υπάρχουν σταθερές c_1 και c_2 ώστε:

    \begin{align*} 												&\frac{f(x)}{x}=\left\{                                                                                      					\begin{tabular}{ll} 												$2x+c_1,$ & $ x<0$ \\\\ 												$2x+c_2,$ & $ x>0$ \\ 												\end{tabular} 												\right.  												\Leftrightarrow\\\\ 												&f(x)=\left\{                                                                                      					\begin{tabular}{ll} 												$2x^2+c_1x,$ & $ x<0$ \\\\ 												$2x^2+c_2x,$ & $ x>0$ \\ 												\end{tabular} 												\right.  												\end{align*}

Οπότε ο τύπος της f είναι:

    \[f(x)=\left\{                                                                                      					\begin{tabular}{ll} 												$2x^2+c_1x,$ & $ x<0$ \\\\ 												$c,$ &$ x=0$\\\\ 												$2x^2+c_2x,$ & $ x>0$ \\ 												\end{tabular} 												\right. 												\]

Όμως η f είναι συνεχής στο x_0=0. Οπότε είναι:

    \begin{align*} 														&f(0)=\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x) \Leftrightarrow\\\\ 														&c=\lim_{x \to 0^-}(2x^2+c_1x)=\lim_{x \to 0^+}(2x^2+c_2x) \Leftrightarrow\\\\ 														&c=0 														\end{align*}

Όμως η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0. Οπότε είναι:

    \begin{align*} 														&\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \Leftrightarrow\\\\ 														&\lim_{x \to 0^-}\frac{2x^2+c_1x}{x}=\lim_{x \to 0^+}\frac{2x^2+c_2x}{x}  \Leftrightarrow\\\\ 														&c_1=c_2 														\end{align*}

Όμως είναι:

    \begin{align*} 													&f(2)=2 \Leftrightarrow\\\\ 													&2\cdot2^2+c_12=2 \Leftrightarrow\\\\ 													&8+2c_1=2 \Leftrightarrow\\\\ 													&c_1=-3 														\end{align*}

Άρα έχουμε ότι:

    \[c_2=-3\]

Τελικά είναι:

    \[f(x)=\left\{                                                                                      						\begin{tabular}{ll} 													$2x^2-3x, x<0$ \\\\ 													$0, x=0$\\\\ 													$2x^2-3x, x>0$ \\ 													\end{tabular} 													\right.  														\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *