ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι: f'(x)=0 για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1,\Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right. \]

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr^*\rightarrow \rr για την οποία ισχύουν f(2)=2,f(-1)=-3. Αν

    \[f'(x)=-\dfrac{-2f(x)}{x}, \,\, x\neq 0.\]

i.) Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση g(x)=x^2f(x)και ισχύει g'(x)=0 για κάθε x\in\rr^*
ii.) Να βρείτε το τύπο της f.
Λύση
i.) Για κάθε x\in\rr^* έχουμε:

    \begin{align*} g'(x) &	=2xf(x)+x^2f'(x) \\\\       &=2xf(x)+x^2\cdot \Big(-\frac{2f(x)}{x}\Big)\\\\       &=2xf(x)-2xf(x)\\\\       &=0. \end{align*}

Άρα g'(x) = 0.

ii.)Για κάθε x\in\rr^*=(-\infty, 0)\cup(0, +\infty) ισχύει ότι g'(x)=0 άρα υπάρχουν σταθερές c_1 και c_2 ώστε:

    \[f(x)= \left\{                                                                                               			   \begin{tabular}{ll} 										$c_1, \quad  x>0$ \\\\ 										$c_2,  \quad x<0$ \\ 										\end{tabular} 										\right.  										\]

Δηλαδή για x>0 είναι:

    \[g(x)=c_1 \Leftrightarrow 										x^2f(x)=c_1 \Leftrightarrow 										f(x)=\frac{c_1}{x^2}\]

και για x<0 είναι:

    \[g(x)=c_2 \Leftrightarrow 										x^2f(x)=c_2 \Leftrightarrow 										f(x)=\frac{c_2}{x^2}\]

Δηλαδή είναι:

    \[f(x)= \left\{                                                                                                 		 \begin{tabular}{ll} 										$\dfrac{c_1}{x^2},$ &  $x>0$ \\\\ 										$\dfrac{c_2}{x^2},$ &  $x<0$ \\ 										\end{tabular} 										\right.  										\]

Επίσης ισχύουν:

    \[f(-1)=-3 \Leftrightarrow 										\frac{c_2}{(-1)^2}=-3 \Leftrightarrow 										c_2=-3\]

και

    \[f(2)=2 \Leftrightarrow 										\frac{c_1}{2^2}=2 \Leftrightarrow 										c_1=8\]

Τελικά είναι:

    \[f(x)= \left\{                                                                                                			  \begin{tabular}{ll} 										$\dfrac{8}{x^2}, \quad x>0$ \\\\ 										$\dfrac{-3}{x^2}, \quad  x<0$  										\end{tabular} 										\right.  										\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *