ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

  • Η f είναι συνεχής στο \Delta και
  • f'(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα \Delta.

Για τις ασκήσεις, για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι σταθερή σε ένα διάστημα \Delta, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο \Delta
  • Αποδεικνύουμε ότι

        \[f'(x)=0\]

    για κάθε εσωτερικό σημείο x \in \Delta.

Όταν μια συνάρτηση g είναι σταθερή σε ένα διάστημα \Delta, τότε ισχύει ότι:

    \[g(x) = c \quad \text{για κάθε } \quad  x \in \Delta.\]

Συνεπως εάν απο τα δεδομένα της άσκησης μπορούμε να υπολογίσουμε οτι για κάποιο x_{0} \in \Delta, ισχύει

    \[g(x_{0}) = c\]

τότε θα ισχύει:

    \[g(x)=g(x_0) \quad\text{για κάθε} \quad x\in\Delta\]

Παράδειγμα

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty)\rightarrow \rr για την οποία ισχύει

    \[f(2)=3 \quad \text{και} \quad xf'(x)=3x-2f(x)\]

για κάθε x\in(0,+\infty).

i.) Δείξτε ότι η συνάρτηση g(x)=x^2f(x)-x^3είναι σταθερή στο (0,+\infty).
ii.) Να βρείτε τον τύπο της f.

Λύση

i.) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστημα (0,+\infty) ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.

Για να αποδείξουμε ότι η g είναι σταθερή αρκεί να αποδείξουμε ότι g'(x)=0 για κάθε x\in(0,+\infty).

Έχουμε:

    \begin{align*} & g'(x)	=(x^2f(x)-x^3)'\Rightarrow\\\\ &g'(x)=2x \cdot f(x)+x^2\cdot f'(x)-3x^2 \quad (1.) \end{align*}

Όμως για κάθε x\in(0,+\infty) ισχύει ότι:

    \begin{align*} & xf'(x)=3x-2f(x) \Leftrightarrow \\\\ & f'(x)=\frac{3x-2f(x)}{x} \quad (2.) \end{align*}

Άρα έχουμε:

    \begin{align*} (1.)\overset{(2.)}{\Rightarrow} & g'(x)=2x\cdot f(x)+x^2 \cdot \frac{3x-2f(x)}{x}-3x^2 \Rightarrow\\\\  & g'(x)=2x\cdot f(x)+x\cdot(3x-2f(x))-3x^2 \Rightarrow\\\\ & g'(x)=2x\cdot f(x)+3x^2-2x \cdot f(x)-3x^2 \Rightarrow\\\\ & g'(x) =0 \end{align*}

Άρα η συνάρτηση g είναι σταθερή στο (0,+\infty).

ii.) Επειδή η συνάρτηση g είναι σταθερή στο (0,+\infty), τότε για κάθε x\in(0,+\infty) θα υπάρχει σταθερός αριθμος c \in \rr ωστε να ισχύει g(x)=c για κάθε x\in \rr.

Επειδή απο υπόθεση έχουμε, f(2)=3, τότε αφού για κάθε x\in \rr, ισχύει g(x)=c τότε θα ισχύει και για x=2.
δηλαδή θα ισχύει:

    \[g(2) =c.\]

Επιπλέον

    \[g(x) = x^2f(x)-x^3.\]

Επομένως έχουμε:

    \begin{align*} & g(2)=2^2f(2)-2^3  \Leftrightarrow 	\\ & g(2)=4\cdot 3-8 \Leftrightarrow \\ & g(2) =4. \end{align*}

Άρα για κάθε x\in(0,+\infty) ισχύει ότι:

    \[g(x)=4 \Leftrightarrow x^2f(x)-x^3=4 \Leftrightarrow  f(x)=\frac{x^3+4}{x^2}.\]

Δηλαδή είναι f(x)=\dfrac{x^3+4}{x^2} με x\in(0,+\infty).

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *