ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Print Friendly, PDF & Email

    \[\Big| |\overrightarrow{\gra}|-| \overrightarrow{\grb} |\Big| \leq |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} |  \leq | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}|\]

Όταν έχουμε να συνδυάσουμε σε μια άσκηση ανισοτικές σχέσεις με διανύσματα και παραλληλία, με ομόρροπα και αντίρροπα διανύσματα, χρησιμοποιώ τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις:

    \[\bullet \quad \Big||\overrightarrow{\gra}|-| \overrightarrow{\grb} |\Big| = |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} |  \text{ αν-ν } \ \overrightarrow{\gra} \nearrow \swarrow \overrightarrow{\grb}\]

    \[\bullet \quad |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} |  = | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}|  \ \text{ αν-ν } \ \overrightarrow{\gra} \nearrow \nearrow \overrightarrow{\grb}\]

Παράδειγμα.1

Αν ισχύει ότι: |\overrightarrow{\gra}|=\dfrac{2}{3}, \ |\overrightarrow{\grb}|=\dfrac{1}{3} \ \text{και} \ |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb}|\geq 1, να δείξετε ότι τα διανύσματα \overrightarrow{\gra}\nearrow \nearrow \overrightarrow{\grb}.

Λύση

Από υπόθεση έχουμε ότι

    \[|\overrightarrow{\gra}|+|\overrightarrow{\grb}|=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1 \quad  \text {και} \quad 1\leq|\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb}|\]

οπότε

    \[|\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb}|\geq|\overrightarrow{\gra}|+|\overrightarrow{\grb}|. \quad (1.)\]

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι

    \[|\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} |  \leq | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}| \quad (2.)\]

Άρα από (1), (2) έχουμε ότι: |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} |  = | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}|
οπότε \overrightarrow{\gra}\nearrow \nearrow \overrightarrow{\grb}.

Επιμέλεια: Γ. Αποστόλου Μαθηματικός. www.apgm.gr
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Ένα σχόλιο στο ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *