ΕΥΡΕΥΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Μπορούμε να αποδείξουμε μια διπλή ανισότητα δύο μεταβλητών \alpha,\beta με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ ως εξής:

  • Βρίσκουμε μια συνάρτηση f, ώστε η ανισότητα να παίρνει τη μορφή:

        \[\kappa<\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}<\lambda\]

  • Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ για την f στο [\alpha,\beta]. Υπάρχει \xi\in(\alpha,\beta) ώστε:

        \[f'(\xi)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\]

  • Ξεκινάμε από την ανισότητα \alpha<\xi<\beta και καταλήγουμε στην ανισότητα:

        \[\kappa<f'(\xi)<\lambda\]

  • Παράδειγμα.1.

    Αν 0<\alpha<\beta να αποδείξετε ότι

        \[e\cdot\alpha<\alpha^{^{\frac{\alpha}{\alpha-\beta}}}\cdot\beta^{^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}}<e \cdot\beta\]


    Λύση

    Λογαριθμίζοντας τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε έχουμε:

        \begin{align*} 								&ln(e\cdot\alpha)<\ln(\alpha^{^{\frac{\alpha}{\alpha-\beta}}}\beta^{^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}})<\ln(e\cdot\beta) \Leftrightarrow\\\\ 								&lne+ln\alpha<\ln\alpha^{^{\frac{\alpha}{\alpha-\beta}}}+\ln\beta^{^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}}<\ln e+\ln\beta \Leftrightarrow\\\\ 								&1+\ln\alpha<\frac{\alpha}{\alpha-\beta}\cdot\ln\alpha+\frac{\beta}{\beta-\alpha}\cdot\ln\beta<1+\ln\beta \Leftrightarrow\\\\ &1+\ln\alpha<\frac{\alpha}{\alpha-\beta}\cdot\ln\alpha-\frac{\beta}{\alpha -\beta}\cdot\ln\beta<1+\ln\beta \Leftrightarrow\\\\ &1+\ln\alpha<\frac{\alpha \ln\alpha -\beta \ln\beta }{\alpha -\beta}<1+\ln\beta \Leftrightarrow\\\\ &1+\ln\alpha<\frac{\beta \ln\beta -\alpha \ln\alpha}{\beta-\alpha}<1+\ln\beta \quad (1.) 								\end{align*}

    Θεωρούμε τη συνάρτηση:

        \[f(x)=x\ln x \quad \text{με} \quad x>0\]

    Η f είναι συνεχής στο [\alpha,\beta]\subseteq(0,+\infty)
    και παραγωγίσιμη στο (\alpha,\beta) με:

        \[f'(x)=\ln x+1\]

    Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει \xi\in(\alpha,\beta) ώστε:

        \begin{align*} 								f'(\xi)&=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\\\\ 								&=\frac{\beta \ln\beta+1-(\alpha \ln\alpha+1)}{\beta-\alpha}\\\\                                                                 &=\frac{\beta \ln\beta+1-\alpha \ln\alpha-1}{\beta-\alpha}\\\\ 								&=\frac{\beta \ln\beta-\alpha \ln\alpha}{\beta-\alpha} \quad (2.) 								\end{align*}

    Επιπλέον, για \alpha<\xi<\beta και

        \[f'(x)=\ln x+1, \quad x>0\]

    έχουμε ότι:

        \begin{align*} 								&\alpha<\xi<\beta \Leftrightarrow\\\\ 								&\ln \alpha<\ln \xi<\ln \beta \Leftrightarrow\\\\ 								&\ln \alpha+1<\ln \xi+1<\ln \beta+1 \Leftrightarrow\\\\ 								&\ln \alpha+1<f'(\xi)<\ln \beta+1 \Leftrightarrow\\\\ 								\end{align*}

    Συνεπώς, επειδή από τη σχέση (2.) έχουμε ότι f'(\xi) = \dfrac{\beta \ln\beta-\alpha \ln\alpha}{\beta-\alpha}, οπότε προκύπτει:

        \[\ln \alpha+1<\frac{\beta \ln\beta -\alpha \ln\alpha}{\beta-\alpha}<\ln \beta+1\]

    και απο τη σχέση (1.) έχουμε:

        \[e\cdot\alpha<\alpha^{^{\frac{\alpha}{\alpha-\beta}}}\cdot\beta^{^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}}<e \cdot\beta\]

    Παράδειγμα.2
    Δίνεται η παραγωγισιμη συνάρτηση f:[0,+\infty)\to \rr, για την οποία ισχύει f(0)=2,f'(0)=1 και η f' είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty). Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει:

        \[x+2\leq f(x) \leq x\cdot f'(x)+2.\]

    Λύση
    Ισχύει ότι:

        \begin{align*} 	                              & x+2\leq f(x) \leq x\cdot f'(x)+2 \Leftrightarrow \\\\ 	                              & x \leq f(x) -2 \leq x \cdot f'(x) \Leftrightarrow \\\\ 	                              & x\leq f(x) -f(0) \leq x\cdot f'(x). \quad (1.) 	                             \end{align*}

    Περίπτωση.1 Για x=0 η σχέση (1.), ισχύει ως ισότητα.
    Περίπτωση.2 Για x> 0, τότε από τη σχέση (1.),έχουμε:

        \[1\leq \dfrac{f(x)-f(0)}{x}\leq f'(x). \quad (2.)\]

    Εξετάζουμε εάν ισχύει το ΘΜΤ για τη συνάρτησ f στο διάστημα [0,x]\subseteq[0,+\infty)
    Έχουμε ότι η f είναι συνεχής στο [0,x]\subseteq[0,+\infty)
    και παραγωγίσιμη στο διάστημα (0,x)\subseteq(0,+\infty)
    αφου η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+\infty), από υπόθεση.
    Τότε απο το θεώρημα Μεσης Τιμής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (0,x), τέτοιο ώστε

        \[f'(\xi) = \dfrac{f(x)-f(0)}{x}. \quad (3.)\]

    Επιπλέον απο υπόθεση έχουμε ότι f' είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty), οπότε:

        \begin{align*}                                              & \xi \in (0, \xi) \Rightarrow \\\\                                              & 0 < \xi < x \overset{f' \uparrow}{\Rightarrow}\\\\                                              & f'(0) < f'(\xi) < f'(x) \overset{(3.)}{\Rightarrow} \\\\                                              &f '(0) < \dfrac{f(x)-f(0)}{x}< f'(x) \overset{f'(0)=1}{\Rightarrow}\\\\                                              & 1 <  \dfrac{f(x)-f(0)}{x} < f'(x)\overset{x>0}{\Rightarrow}\\\\                                              & x < f(x) -f(0) <x \cdot f'(x) \overset{f(0)=2}{\Rightarrow} \\\\                                              & x < f(x) -2  < x \cdot f'(x)  \Rightarrow\\\\                                              & x+2 < f(x)  < x\cdot f'(x)+2.                                             \end{align*}

    Τελικα απο περίπτωση.1 και περίπτωση.2 έχουμε ότι

        \[x+2\leq f(x) \leq x\cdot f'(x)+2.\]

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *