Μπορούμε να αποδείξουμε μια διπλή ανισότητα δύο μεταβλητών με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ ως εξής:


![Rendered by QuickLaTeX.com [\alpha,\beta]](http://diakopoulos.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b51132f7186396e36156bca8e51238a1_l3.png)


Παράδειγμα.1.
Αν να αποδείξετε ότι
Λύση
Λογαριθμίζοντας τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε έχουμε:
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
Η είναι συνεχής στο
και παραγωγίσιμη στο με:
Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει ώστε:
Επιπλέον, για και
έχουμε ότι:
Συνεπώς, επειδή από τη σχέση έχουμε ότι
οπότε προκύπτει:
και απο τη σχέση έχουμε:
Παράδειγμα.2
Δίνεται η παραγωγισιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει
και η
είναι γνησίως αύξουσα στο
Να αποδείξετε ότι για κάθε
ισχύει:
Λύση
Ισχύει ότι:
Περίπτωση.1 Για η σχέση
ισχύει ως ισότητα.
Περίπτωση.2 Για τότε από τη σχέση
έχουμε:
Εξετάζουμε εάν ισχύει το ΘΜΤ για τη συνάρτησ στο διάστημα
Έχουμε ότι η είναι συνεχής στο
και παραγωγίσιμη στο διάστημα
αφου η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο
από υπόθεση.
Τότε απο το θεώρημα Μεσης Τιμής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε
Επιπλέον απο υπόθεση έχουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο
οπότε:
Τελικα απο περίπτωση.1 και περίπτωση.2 έχουμε ότι
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .









