ΕΥΡΕΥΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Μπορούμε να αποδείξουμε μια διπλή ανισότητα δύο μεταβλητών $\alpha,\beta$ με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ ως εξής:

Βρίσκουμε μια συνάρτηση $f$ , ώστε η ανισότητα να παίρνει τη μορφή:

$\kappa<\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}<\lambda$

Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ για την $f$ στο $[\alpha,\beta]$ . Υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ ώστε:

$f'(\xi)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$

Ξεκινάμε από την ανισότητα $\alpha<\xi<\beta$ και καταλήγουμε στην ανισότητα:

$\kappa<f'(\xi)<\lambda$

Παράδειγμα.1.

Αν $0<\alpha<\beta$ να αποδείξετε ότι

$e\cdot\alpha<\alpha^{^{\frac{\alpha}{\alpha-\beta}}}\cdot\beta^{^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}}<e \cdot\beta$

Λύση

Λογαριθμίζοντας τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε έχουμε:

$\begin{align*} &ln(e\cdot\alpha)<\ln(\alpha^{^{\frac{\alpha}{\alpha-\beta}}}\beta^{^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}})<\ln(e\cdot\beta) \Leftrightarrow\\\\ &lne+ln\alpha<\ln\alpha^{^{\frac{\alpha}{\alpha-\beta}}}+\ln\beta^{^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}}<\ln e+\ln\beta \Leftrightarrow\\\\ &1+\ln\alpha<\frac{\alpha}{\alpha-\beta}\cdot\ln\alpha+\frac{\beta}{\beta-\alpha}\cdot\ln\beta<1+\ln\beta \Leftrightarrow\\\\ &1+\ln\alpha<\frac{\alpha}{\alpha-\beta}\cdot\ln\alpha-\frac{\beta}{\alpha -\beta}\cdot\ln\beta<1+\ln\beta \Leftrightarrow\\\\ &1+\ln\alpha<\frac{\alpha \ln\alpha -\beta \ln\beta }{\alpha -\beta}<1+\ln\beta \Leftrightarrow\\\\ &1+\ln\alpha<\frac{\beta \ln\beta -\alpha \ln\alpha}{\beta-\alpha}<1+\ln\beta \quad (1.) \end{align*}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$f(x)=x\ln x \quad \text{με} \quad x>0$

Η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]\subseteq(0,+\infty)$
και παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$ με:

$f'(x)=\ln x+1$

Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ ώστε:

$\begin{align*} f'(\xi)&=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\\\\ &=\frac{\beta \ln\beta+1-(\alpha \ln\alpha+1)}{\beta-\alpha}\\\\ &=\frac{\beta \ln\beta+1-\alpha \ln\alpha-1}{\beta-\alpha}\\\\ &=\frac{\beta \ln\beta-\alpha \ln\alpha}{\beta-\alpha} \quad (2.) \end{align*}$

Επιπλέον, για $\alpha<\xi<\beta$ και

$f'(x)=\ln x+1, \quad x>0$

έχουμε ότι:

$\begin{align*} &\alpha<\xi<\beta \Leftrightarrow\\\\ &\ln \alpha<\ln \xi<\ln \beta \Leftrightarrow\\\\ &\ln \alpha+1<\ln \xi+1<\ln \beta+1 \Leftrightarrow\\\\ &\ln \alpha+1<f'(\xi)<\ln \beta+1 \Leftrightarrow\\\\ \end{align*}$

Συνεπώς, επειδή από τη σχέση $(2.)$ έχουμε ότι $f'(\xi) = \dfrac{\beta \ln\beta-\alpha \ln\alpha}{\beta-\alpha},$ οπότε προκύπτει:

$\ln \alpha+1<\frac{\beta \ln\beta -\alpha \ln\alpha}{\beta-\alpha}<\ln \beta+1$

και απο τη σχέση $(1.)$ έχουμε:

$e\cdot\alpha<\alpha^{^{\frac{\alpha}{\alpha-\beta}}}\cdot\beta^{^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}}<e \cdot\beta$

Παράδειγμα.2
Δίνεται η παραγωγισιμη συνάρτηση $f:[0,+\infty)\to \rr,$ για την οποία ισχύει $f(0)=2,f'(0)=1$ και η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty).$ Να αποδείξετε ότι για κάθε $x>0$ ισχύει:

$x+2\leq f(x) \leq x\cdot f'(x)+2.$

Λύση
Ισχύει ότι:

$\begin{align*} & x+2\leq f(x) \leq x\cdot f'(x)+2 \Leftrightarrow \\\\ & x \leq f(x) -2 \leq x \cdot f'(x) \Leftrightarrow \\\\ & x\leq f(x) -f(0) \leq x\cdot f'(x). \quad (1.) \end{align*}$

Περίπτωση.1 Για $x=0$ η σχέση $(1.),$ ισχύει ως ισότητα.
Περίπτωση.2 Για $x> 0,$ τότε από τη σχέση $(1.),$ έχουμε:

$1\leq \dfrac{f(x)-f(0)}{x}\leq f'(x). \quad (2.)$

Εξετάζουμε εάν ισχύει το ΘΜΤ για τη συνάρτησ $f$ στο διάστημα $[0,x]\subseteq[0,+\infty)$
Έχουμε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $[0,x]\subseteq[0,+\infty)$
και παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,x)\subseteq(0,+\infty)$
αφου η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\infty),$ από υπόθεση.
Τότε απο το θεώρημα Μεσης Τιμής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,x),$ τέτοιο ώστε

$f'(\xi) = \dfrac{f(x)-f(0)}{x}. \quad (3.)$

Επιπλέον απο υπόθεση έχουμε ότι $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty),$ οπότε:

$\begin{align*} & \xi \in (0, \xi) \Rightarrow \\\\ & 0 < \xi < x \overset{f' \uparrow}{\Rightarrow}\\\\ & f'(0) < f'(\xi) < f'(x) \overset{(3.)}{\Rightarrow} \\\\ &f '(0) < \dfrac{f(x)-f(0)}{x}< f'(x) \overset{f'(0)=1}{\Rightarrow}\\\\ & 1 < \dfrac{f(x)-f(0)}{x} < f'(x)\overset{x>0}{\Rightarrow}\\\\ & x < f(x) -f(0) <x \cdot f'(x) \overset{f(0)=2}{\Rightarrow} \\\\ & x < f(x) -2 < x \cdot f'(x) \Rightarrow\\\\ & x+2 < f(x) < x\cdot f'(x)+2. \end{align*}$