ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Αν έχουμε δεδομένο μια ανισοτική σχέση για την f' και το ζητούμενο είναι μια ανισοτική σχέση για την f, τότε ενδεχομένως η απόδειξη μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.


Παράδειγμα.

Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr για την οποία ισχύει

    \[f(4)=1 \quad \text{και} \quad 1<f'(x)<2 \quad \text{για κάθε} \quad x\in\rr\]

να αποδείξετε ότι:

    \[-3<f(2)<-1.\]

Λύση
Σκεπτικό επειδή στα δεδομένα της άσκησης ξέρουμε το f(4) και ζητάμε να δείξουμε μία ανισοτική σχέση για την f(2) εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την συνάρτηση, f στο διάστημα [2,4].

Έχουμε ότι η f είναι συνεχής στο [2,4] και παραγωγίσιμη στο (2,4) άρα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει \xi\in(2,4) τέτοιο ώστε:

    \[f'(\xi)= 								\frac{f(4)-f(2)}{4-2} 								=\frac{1-f(2)}{2}\]

Όμως ισχύει ότι:

    \begin{align*} 								&1<f'(\xi)<2  \Leftrightarrow \\\\ 								&1<\frac{1-f(2)}{2}<2  \Leftrightarrow\\\\ 								&2<1-f(2)<4  \Leftrightarrow\\\\ 								&-3<f(2)<-1. 								\end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *