ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει \xi ώστε f''(\xi)=0, πρέπει να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για την f' σε κάποιο διάστημα [x_1,x_2].

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε δύο αριθμούς x_1\neq x_2 με f'(x_1)=f'(x_2). Οι τιμές αυτές μπορούν να προκύψουν με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ σε δύο διαστήματα ξένα μεταξύ τους.

Παράδειγμα.1.

Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει f(2)=f(0)+4 και f(4)=f(3)+2
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(0,4) τέτοιο ώστε f''(\xi)=0.

Λύση

Η f είναι συνεχής στο [0,2] και παραγωγίσιμη στο (0,2), αφού είναι παραγωγίσιμη στο \rr.

Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει \xi_1\in(0,2) ώστε:

    \[f'(\xi_1) =\frac{f(2)-f(0)}{2-0} =\frac{f(0)+4-f(0)}{2} =2\]

Η f είναι συνεχής στο [3,4] και παραγωγίσιμη στο (3,4), αφού είναι παραγωγίσιμη στο \rr.

Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει \xi_2\in(3,4) ώστε:

    \[f'(\xi_2) =\frac{f(4)-f(3)}{4-3} =\frac{f(3)+2-f(3)}{1} =2\]

Η f' είναι συνεχής στο [\xi_1,\xi_2] και παραγωγίσιμη στο (\xi_1,\xi_2), αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \rr.

Επίσης ισχύει:

    \[f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=2\]

Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει \xi\in(\xi_1,\xi_2)\subseteq(0,4) τέτοιο ώστε:

    \[f''(\xi)=0\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *