ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΑΡΞΙΑΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Θ.Μ.Τ

Print Friendly, PDF & Email

Ενας ακόμα τρόποςγια να χωρίσουμε το διάστημα [\alpha,\beta] σε δύο υποδιαστήματα, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε την ύπαρξη κάποιου \xi\in(\alpha,\beta) που έχουμε εξασφαλίσει σε προηγούμενο ερώτημα.

Παράδειγμα.1.
Δίνεται συνάρτηση f:[\alpha,\beta]\rightarrow\rr η οποία είναι συνεχής στο [\alpha,\beta]
και παραγωγίσιμη στο (\alpha,\beta) και ισχύει

    \[f(\alpha)=2\beta \quad \text{και} \quad f(\beta)=2\alpha\]

Να αποδείξετε ότι:
i) Η εξίσωση f(x)=2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (\alpha,\beta).
ii) Υπάρχουν \xi_1,\xi_2\in(\alpha,\beta) τέτοια ώστε f'(\xi_1)f'(\xi_2)=4.

Λύση

i.)
Η εξίσωση γίνεται:

    \[f(x)=2x \Leftrightarrow 										      f(x)-2x=0\]

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-2x, \quad x\in[\alpha,\beta]
Η g είναι συνεχής στο [\alpha,\beta] ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
Είναι:

    \[g(\alpha) 										      =f(\alpha)-2\alpha 										      =2\beta-2\alpha 										      =2(\beta-\alpha)\]

    \[g(\beta) 										      =f(\beta)-2\beta 										      =2\alpha-2\beta 										      =-2(\beta-\alpha)\]

Δηλαδή έχουμε:
g(\alpha)\cdot g(\beta)=-4(\beta-\alpha)^2<0 \quad \text{γιατί} \quad \alpha\neq\beta
Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(1,3) τέτοιο ώστε:

    \[g(\xi)=0 \Leftrightarrow 										      f(\xi)-2\xi=0 \Leftrightarrow 										      f(\xi)=2\xi\]

ii.) Πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα (\alpha,\beta) σε
δύο υποδιαστήματα στα οποία να εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ.
Τα υποδιαστήματα αυτά είναι τα [\alpha,\xi] και [\xi,\beta] όπου \xi\in(\alpha,\beta) για το οποίο ισχύει: f(\xi)=2\xi.

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα [\alpha,\xi] και [\xi,\beta] και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα (\alpha,\xi) και (\xi,\beta), αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο \rr.

Επομένως σε καθένα από τα υποδιαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ σύμφωνα με το οποίο,
υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi_1\in(\alpha,\xi) τέτοιο ώστε:

    \[f'(\xi_1) 										      =\frac{f(\xi)-f(\alpha)}{\xi-\alpha} 										      =\frac{2\xi-2\beta}{\xi-\alpha}\]

και υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi_2\in(\xi,\beta) τέτοιο ώστε:

    \[f'(\xi_2) 										      =\frac{f(\beta)-f(\xi)}{\xi-\beta}\\ 										      =\frac{2\alpha-2\xi}{\beta-\xi}\]

Για τα παραπάνω \xi_1,\xi_2\in(1,5) διαφορετικά μεταξύ τους ισχύει ότι:

    \[f'(\xi_1)f'(\xi_2) 										     =\frac{2\xi-2\beta}{\xi-\alpha}\cdot \frac{2\alpha-2\xi}{\beta-\xi} 										     =\frac{(\xi-\beta)\cdot(\alpha-\xi)}{(\xi-\alpha)\cdot(\beta-\xi)} 										     =4\]

Παράδειγμα.2.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr για την οποία ισχύει f(1)=2 και f(3)=8 να αποδείξετε ότι:
i.) Υπάρχει x_0\in(1,3) ώστε f(x_0)=6
ii. )Υπάρχουν \xi_{1}, \xi_{2}\in(1,3) διαφορετικά μεταξύ τους ώστε

    \[\dfrac{2}{f'(\xi_1)}+\dfrac{1}{f'(\xi_2)}=1.\]

Λύση
i.)
Η f είναι συνεχής στο [1,3] με f(1)=2 και f(3)=8.
Ο αριθμός 6 είναι ανάμεσα στις τιμές f(1) και f(3).

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον x_0\in(1,3) ώστε f(x_0)=6

ii.)
Αφού υπάρχει ένα τουλάχιστον x_0\in(1,3) ώστε f(x_0)=6 χωρίζουμε το διάστημα [1,3] στα διαστήματα [1,x_{0}] και [x_{0},3] και έχουμε ότι:

Η f είναι συνεχής στο [1,x_0] και παραγωγίσιμη στο (1,x_0), αφού είναι παραγωγίσιμη στο \rr.
Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει \xi_1\in(1,x_0) ώστε:

    \[f'(\xi_1) 											  =\frac{f(x_0)-f(1)}{x_0-1} 											  =\frac{6-2}{x_0-1} 											  =\frac{4}{x_0-1}.\]

Επίσης η συνάρητση f είναι συνεχής στο [x_0,3] και παραγωγίσιμη στο (x_0,3), αφού είναι παραγωγίσιμη στο \rr.

Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει \xi_2\in(x_0,3) ώστε:

    \[f'(\xi_2) 											  =\frac{f(3)-f(x_0)}{3-x_0} 											  =\frac{8-6}{3-x_0}= 											  \frac{2}{3-x_0}\]

Για τις παραπάνω τιμές των \xi_1,\xi_2 ισχύει ότι:

    \begin{align*} 											  &\frac{2}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)} 											  =\frac{2}{\frac{4}{x_0-1}}+\frac{1}{\frac{2}{3-x_0}}\\\\ 											  &=\frac{2x_0-2}{4}+\frac{3-x_0}{2} 											  =\frac{2x_0-2+6-2x_0}{4} 											  =1 											  \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *