Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής
έχει το πολύ ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:
* Υποθέτουμε ότι η εξίσωση
έχει ρίζες έστω τις
* Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την σε καθένα από τα διαστήματα
* Βρίσκουμε ότι υπάρχουν
ώστε
* Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την σε καθένα από τα διαστήματα:
* Τελικά καταλήγουμε σε άτοπο.
Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα
Λύση
Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση έχει δύο ρίζες με
Η είναι συνεχής στο
και παραγωγίσιμη στο
με
Επίσης ισχύει:
Απο το θεώρημα Rolle υπάρχει ώστε
Η παραπ´ανω εξίσωση είναι ένα τριώνυμο ως προς με στοιχεία τριωνύμου
και διακρίνουσα:
Άρα οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι:
Οι παραπάνω τιμές απορρίπτονται γιατί εχουμε υποθέσει ότι η εξίσωση μια τουλάχιστον ρίζα,
Άρα καταλήξαμε σε άτοπο.
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .







