ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟ ΠΟΛΥ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

$f(x)=0$

έχει το πολύ $\nu$ ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:

* Υποθέτουμε ότι η εξίσωση

$f(x)=0$

έχει $\nu+1$ ρίζες έστω τις

$\rho_1<\rho_2<...<\rho_{\nu}<\rho_{\nu+1}$

* Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την $f$ σε καθένα από τα διαστήματα

$[\rho_1,\rho_2], [\rho_2,\rho_3],...,[\rho_\nu,\rho_{\nu+1}]$

* Βρίσκουμε ότι υπάρχουν

$\xi_1\in(\rho_1,\rho_2), \xi_2\in(\rho_2,\rho_3),...,\xi_\nu\in(\rho_\nu,\rho_{\nu+1})$

ώστε

$f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=...=f'(\xi_\nu)=0$

* Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την $f'$ σε καθένα από τα διαστήματα:

$[\xi_1,\xi_2], [\xi_2,\xi_3],...,[\xi_\nu,\xi_{\nu+1}] \quad \text{κ.ο. κ}$

* Τελικά καταλήγουμε σε άτοπο.

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{7}{2}x^2+3x+\mu, \quad \mu\in\rr$ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα $(1,2).$
Λύση
Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση έχει δύο ρίζες $\rho_1,\rho_2$ με $\rho_1<\rho_2$
Η $f$ είναι συνεχής στο $[\rho_1,\rho_2]$ και παραγωγίσιμη στο $(\rho_1,\rho_2)$ με

$f'(x)=2x^3-7x+3.$

Επίσης ισχύει: $f(\rho_1)=f(\rho_2)=0$
Απο το θεώρημα Rolle υπάρχει $\xi_1\in(\rho_1,\rho_2)$ ώστε $f'(\xi)=0.$

$\begin{align*} &f'(\xi)=0 \Leftrightarrow\\ &2\xi^2-7\xi+3=0 \end{align*}$

Η παραπ´ανω εξίσωση είναι ένα τριώνυμο ως προς $\xi$ με στοιχεία τριωνύμου

$\alpha =2, \beta =-7, \gamma = 3$

και διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^{2} -4\alpha\cdot \gamma$

$\Delta = 49-24 =25>0.$

Άρα οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι:

$\xi_{1,2} =\dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\cdot\alpha}$

$\xi_{1,2}=\dfrac{7\pm5}{4} =\left\{ \begin{tabular}{ll} $3$ \\ $\frac{1}{2}$ \end{tabular} \right.$

Οι παραπάνω τιμές απορρίπτονται γιατί εχουμε υποθέσει ότι η εξίσωση $f'(\xi) =0$ μια τουλάχιστον ρίζα, $\xi\in(\rho_1,\rho_2) \subseteq (1,2).$ Άρα καταλήξαμε σε άτοπο.