ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟ ΠΟΛΥ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

    \[f(x)=0\]

έχει το πολύ \nu ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:

* Υποθέτουμε ότι η εξίσωση

    \[f(x)=0\]

έχει \nu+1 ρίζες έστω τις

    \[\rho_1<\rho_2<...<\rho_{\nu}<\rho_{\nu+1}\]

* Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την f σε καθένα από τα διαστήματα

    \[[\rho_1,\rho_2], [\rho_2,\rho_3],...,[\rho_\nu,\rho_{\nu+1}]\]

* Βρίσκουμε ότι υπάρχουν

    \[\xi_1\in(\rho_1,\rho_2), \xi_2\in(\rho_2,\rho_3),...,\xi_\nu\in(\rho_\nu,\rho_{\nu+1})\]

ώστε

    \[f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=...=f'(\xi_\nu)=0\]

* Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την f' σε καθένα από τα διαστήματα:

    \[[\xi_1,\xi_2], [\xi_2,\xi_3],...,[\xi_\nu,\xi_{\nu+1}] \quad \text{κ.ο. κ}\]

* Τελικά καταλήγουμε σε άτοπο.

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{7}{2}x^2+3x+\mu, \quad \mu\in\rr Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα (1,2).
Λύση
Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση έχει δύο ρίζες \rho_1,\rho_2 με \rho_1<\rho_2
Η f είναι συνεχής στο [\rho_1,\rho_2] και παραγωγίσιμη στο (\rho_1,\rho_2) με

    \[f'(x)=2x^3-7x+3.\]

Επίσης ισχύει: f(\rho_1)=f(\rho_2)=0
Απο το θεώρημα Rolle υπάρχει \xi_1\in(\rho_1,\rho_2) ώστε f'(\xi)=0.

    \begin{align*} 		&f'(\xi)=0 \Leftrightarrow\\ 		&2\xi^2-7\xi+3=0 	\end{align*}

Η παραπ´ανω εξίσωση είναι ένα τριώνυμο ως προς \xi με στοιχεία τριωνύμου

    \[\alpha  =2, \beta =-7, \gamma = 3\]

και διακρίνουσα:

    \[\Delta = \beta^{2} -4\alpha\cdot \gamma\]

    \[\Delta = 49-24	=25>0.\]

Άρα οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι:

    \[\xi_{1,2} =\dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\cdot\alpha}\]

    \[\xi_{1,2}=\dfrac{7\pm5}{4} 				=\left\{ 				\begin{tabular}{ll} 					$3$ \\ 					$\frac{1}{2}$  				\end{tabular} 					\right.\]

Οι παραπάνω τιμές απορρίπτονται γιατί εχουμε υποθέσει ότι η εξίσωση f'(\xi) =0 μια τουλάχιστον ρίζα, \xi\in(\rho_1,\rho_2) \subseteq (1,2). Άρα καταλήξαμε σε άτοπο.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *