ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

    \[f(x)=0\]

έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα \Delta και
δεν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Bolzano, τότε μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

* Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της f για την οποία ισχύει

    \[F'(x)=f(x)\]

* Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την f στο διάστημα \Delta, αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.

Παράδειγμα.
Δείξετε ότι η εξίσωση 4x^3-4x-1=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (-1,0).
Λύση
Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 4x^3-4x-1=0 έχει μία ρίζα στο διάστημα (-1,0) εξετάζουμε, αν για τη συνάρτηση

    \[f(x)=4x^3-4x-1,\]

εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα [-1,0].
Η f είναι συνεχής στο [-1,0] ως πολυωνυμική και ισχύει:

    \[f(-1)=4+4-1\Rightarrow f(-1) =-1 \quad \text{και} \quad f(0)=-1\]

Παρατηρούμε ότι f(-1)\cdot f(0) = +1>0, άρα δεν εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano.

Στην περίπτωση συτή πρέπει να βρούμε μια αρχική της f.

Πατηρούμε ότι η εξίσωση γίνεται:

    \begin{align*} 		&4x^3-4x-1=0 \Leftrightarrow\\ 		&(x^4)'-(2x^2)'-(x)'=0 \Leftrightarrow\\ 		&(x^4-2x^2-x)'=0 	\end{align*}

Θέτουμε

    \[F(x)=x^4-2x^2-x\]

Ισχύουν:

* Η F είναι συνεχής στο διάστημα [-1,0], ως πολυωνυμική.
* Η F είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (-1,0) ως πολυωνυμική με

    \begin{align*} & F'(x)=(x^4-2x^2-x)' \Rigghtarrow\\ & F'(x)=4x^3-4x-1 \end{align*}

Επίσης:

    \[F(-1)=1-2+1\Rightarrow F(-1) =0 \quad \text{και} \quad F(0)=0\]

Δηλαδή ισχύει ότι

    \[F(-1)=F(0)\]

Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle η εξίσωση:

    \begin{align*} 		&F'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 		&4x^3-4x-1=0,  	\end{align*}

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (-1,0).

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *