ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει

    \[f(2)=f(3)=f(4)\]

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(2,4) τέτοιο ώστε

    \[f''(\xi)=0\]

Λύση
Αφού απο υπόθεση

    \[f(2)=f(3)=f(4)\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Εφαρμόζουμε διαδοχικά το θεώρημα Rolle, για τη συνάρτηση f στα διαστήματα [2,3] και [3,4] και έχουμε:

* Η f είναι συνεχής στο διάστημα [2,3]\subseteq \rr, ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο \rr, από υπόθεση.

* Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (2,3)\subseteq \rr, ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο \rr, από υπόθεση.

* Ισχύει f(2)=f(3)

Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον x_1\in(2,3) τέτοιο ώστε f'(x_1)=0

Ομοίως

* Η f είναι συνεχής στο διάστημα [3,4]\subseteq \rr, ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο \rr, από υπόθεση.

* Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (3,4)\subseteq \rr, ως παραγωγίσιμη συνάρτηση στο \rr, από υπόθεση.

* Ισχύει f(3)=f(4)
Άρα η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο [3,4] δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον x_2\in(3,4) τέτοιο ώστε f'(x_2)=0.

Παρατηρούμε λοιπόν ότι:

    \[f'(x_{1}) = f'(x_{2})\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Επειδή η συνάρτηση f, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \rr, εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την παράγωγο της συνάρτησης f στο διάστημα [x_{1},x_{2}] \subseteq [2,4] \subseteq \rr.
Οπότε

* Η f' είναι συνεχής στο [x_1,x_2]\subseteq \rr αφού, από υπόθεση, η συναρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \rr.
* Η f' είναι παραγωγίσιμη στο (x_1,x_2)\subseteq \rr αφού, η συναρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \rr.
* Ισχύει ότι:

    \[f'(x_1)=f'(x_2)\]

Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(x_1,x_2)\subseteq(2,4) τέτοιο ώστε

    \[f''(\xi)=0\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *